3. Binomische Formel Beispiel

Okay, Leute, lasst uns ehrlich sein. Die Binomischen Formeln. Ja, genau die. Die, die uns in der Schule so "begeistert" haben. Ich wage zu behaupten: sie sind gar nicht so schlimm, wie wir sie in Erinnerung haben. Vielleicht sogar... nützlich? Achtung, unpopuläre Meinung!

Das Drama mit dem Quadrat

Erinnert ihr euch noch an die erste binomische Formel? Irgendwas mit (a + b) zum Quadrat? Und dann kam dieser endlose Ausdruck, der gefühlt die ganze Tafel beanspruchte. (a + b)² = a² + 2ab + b². Ich gebe zu, beim ersten Mal war ich auch verwirrt.

Aber mal ehrlich, was steckt wirklich dahinter? Stellen wir uns vor, wir wollen ein quadratisches Beet bauen. Stell dir vor, eine Seite des Beets besteht aus zwei Teilen: ein Teil ist *a* Meter lang, der andere *b* Meter. Das ganze Beet hat also eine Seitenlänge von (a + b) Metern.

Um die Fläche des Beets zu berechnen, können wir entweder (a + b) mit (a + b) multiplizieren (also (a + b)² rechnen). Oder wir zerlegen das Beet in kleinere Flächen. Da ist ein Quadrat mit der Seitenlänge *a* (Fläche: a²), ein Quadrat mit der Seitenlänge *b* (Fläche: b²) und zwei Rechtecke, die jeweils *a* Meter lang und *b* Meter breit sind (Fläche jeweils: ab). Addiert man all diese Teilflächen, erhält man: a² + b² + ab + ab = a² + 2ab + b².

Ein praktisches Beispiel: Das neue Wohnzimmer

Sagen wir mal, du möchtest dein Wohnzimmer renovieren und planst, einen Teppich zu verlegen. Dein Wohnzimmer ist fast quadratisch, aber nicht ganz. Eine Seite ist 3 Meter lang, die andere 3,2 Meter. Du könntest jetzt deinen Taschenrechner rausholen und 3 * 3,2 rechnen. Aber wo bleibt der Spaß?

Stattdessen nutzen wir einfach die erste binomische Formel! Wir schreiben 3,2 als (3 + 0,2). Jetzt haben wir: 3 * (3 + 0,2) = (3 + 0) * (3 + 0,2). Das ist fast wie (a + b)². Fast!

Aber wir können es trotzdem nutzen! Wir verteilen die 3 auf die Klammer: 3 * (3 + 0,2) = (3 * 3) + (3 * 0,2) = 9 + 0,6 = 9,6 Quadratmeter. Tadaa! Teppichfläche berechnet, ganz ohne komplizierte Rechnerei (fast).

Die zweite binomische Formel: Minus macht's anders?

Die zweite binomische Formel ist quasi die "böse Schwester" der ersten. Statt (a + b)² haben wir (a - b)². Das Ergebnis? a² - 2ab + b². Wo ist der Unterschied? Nur ein kleines Minuszeichen, aber es macht einen großen Unterschied im Ergebnis.

Stellen wir uns vor, wir haben wieder ein quadratisches Beet mit der Seitenlänge *a*. Aber dieses Mal wollen wir ein kleineres Quadrat mit der Seitenlänge *b* herausschneiden. Die übrigbleibende Fläche ist dann (a - b) * (a - b), also (a - b)².

Um diese Fläche zu berechnen, können wir uns vorstellen, dass wir das große Quadrat (Fläche a²) nehmen und das kleine Quadrat (Fläche b²) abziehen. Aber Achtung! Wenn wir nur b² abziehen, ziehen wir ein bisschen zu viel ab. Denn wir haben dabei auch zwei Rechtecke (mit den Seitenlängen a und b) teilweise entfernt. Um das zu korrigieren, müssen wir diese Rechtecke wieder hinzufügen, allerdings nur einmal, da wir das Quadrat b² ja komplett abgezogen haben.

Das Ergebnis ist: a² - b² + (ab - b²) + (ab -b²) = a² - b² + 2ab - b² = a² - 2ab + b².

Ein Beispiel aus der Backstube

Du möchtest einen Kuchen backen, aber hast versehentlich zu viel Zucker in den Teig gegeben. Eigentlich sollten 100g Zucker rein, aber du hast 102g genommen. Blöd gelaufen.

Jetzt willst du wissen, wie viel Prozent zu viel Zucker im Teig ist. Du könntest jetzt kompliziert rechnen, oder du erinnerst dich an die binomische Formel (fast!). Wir schreiben 102 als (100 + 2). Und um herauszufinden, wie viel Prozent 2 von 100 ist, können wir rechnen: 2 / 100 = 0.02, also 2%. Okay, keine binomische Formel, aber trotzdem eine nützliche Erinnerung, dass man manchmal einfach denken kann.

Die dritte binomische Formel: Die mit dem "mal plus, mal minus"

Die dritte binomische Formel ist vielleicht die eleganteste. (a + b) * (a - b) = a² - b². Kein Mittelteil, keine komplizierten Vorzeichen. Einfach nur a² minus b². Fast schon meditativ.

Stellen wir uns ein Rechteck vor. Es ist *a* Meter lang und *b* Meter breit. Seine Fläche ist also a*b. Jetzt stellen wir uns ein zweites Rechteck vor. Es ist auch *a* Meter lang, aber *c* Meter breit. Seine Fläche ist a*c. Die Differenz der Flächen ist a*b - a*c = a*(b-c).

Das ist nicht die dritte binomische Formel, aber eine gute Übung! Stell dir vor, du hast ein quadratisches Grundstück, das du mit einem Zaun umzäunen möchtest. Die Seite des Grundstücks ist *a* Meter lang. Nun entscheidest du dich, das Grundstück auf einer Seite um *b* Meter zu verlängern und auf der anderen Seite um *b* Meter zu verkürzen. Hat sich die Fläche des Grundstücks verändert?

Die neue Länge ist (a + b), die neue Breite (a - b). Die neue Fläche ist also (a + b) * (a - b). Und das ist laut der dritten binomischen Formel gleich a² - b². Das bedeutet, die Fläche hat sich um b² verringert!

Ein Beispiel aus dem Sport

Nehmen wir an, du läufst immer eine Strecke von 1000 Metern. Einmal läufst du 10 Meter schneller (also 1010 Meter), ein anderes Mal 10 Meter langsamer (also 990 Meter). Wenn du diese beiden Strecken multiplizieren würdest (warum auch immer man das tun sollte!), wäre das Ergebnis sehr nah an 1000 zum Quadrat. Denn (1000 + 10) * (1000 - 10) = 1000² - 10² = 1.000.000 - 100 = 999.900.

Also, vielleicht sind die Binomischen Formeln doch nicht so gruselig, wie wir dachten. Und vielleicht, nur vielleicht, können sie uns im Alltag sogar ein bisschen helfen. Oder zumindest für ein kleines Schmunzeln sorgen. Gebt es zu, ihr habt beim Lesen auch ein bisschen geschmunzelt, oder?