Addieren Und Subtrahieren Von Brüchen
Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen ist eine grundlegende Rechenart, die im Alltag und in vielen mathematischen Bereichen Anwendung findet. Für Neuankömmlinge in einem deutschsprachigen Land oder für Personen, die ihr Wissen auffrischen möchten, bietet dieser Artikel eine einfache und verständliche Erklärung der wichtigsten Regeln und Schritte.
Grundlagen: Was ist ein Bruch?
Bevor wir mit dem Rechnen beginnen, ist es wichtig, die Bestandteile eines Bruchs zu verstehen. Ein Bruch besteht aus zwei Teilen, die durch einen horizontalen Strich getrennt sind:
- Der Zähler (oben) gibt an, wie viele Teile von einem Ganzen wir haben.
- Der Nenner (unten) gibt an, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt wurde.
Beispiel: Im Bruch 3/4 ist 3 der Zähler und 4 der Nenner. Das bedeutet, wir haben drei von vier gleich großen Teilen eines Ganzen.
Brüche mit gleichem Nenner addieren und subtrahieren
Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen ist am einfachsten, wenn die Brüche den gleichen Nenner haben. In diesem Fall addieren oder subtrahieren wir einfach die Zähler und behalten den Nenner bei.
Addition
Wenn zwei oder mehr Brüche den gleichen Nenner haben, werden sie addiert, indem man die Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.
Formel: a/c + b/c = (a+b)/c
Beispiel: 2/5 + 1/5 = (2+1)/5 = 3/5
Subtraktion
Die Subtraktion funktioniert analog zur Addition. Wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben, subtrahieren wir den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs und behalten den gemeinsamen Nenner bei.
Formel: a/c - b/c = (a-b)/c
Beispiel: 5/8 - 2/8 = (5-2)/8 = 3/8
Brüche mit unterschiedlichem Nenner addieren und subtrahieren
Wenn die Brüche unterschiedliche Nenner haben, müssen wir sie zuerst gleichnamig machen, bevor wir sie addieren oder subtrahieren können. Das bedeutet, wir müssen die Brüche so erweitern oder kürzen, dass sie den gleichen Nenner haben.
Der Hauptnenner
Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner der beteiligten Brüche. Er ist der kleinste Nenner, auf den alle Brüche erweitert werden können.
Beispiel: Um 1/2 und 1/3 gleichnamig zu machen, suchen wir das kgV von 2 und 3. Das kgV von 2 und 3 ist 6. Also ist 6 der Hauptnenner.
Erweitern von Brüchen
Um einen Bruch zu erweitern, multiplizieren wir sowohl den Zähler als auch den Nenner mit derselben Zahl. Dadurch ändert sich der Wert des Bruchs nicht, aber der Nenner wird verändert.
Formel: a/b = (a * x)/(b * x)
Beispiel: Um 1/2 auf den Nenner 6 zu erweitern, müssen wir den Nenner 2 mit 3 multiplizieren. Also multiplizieren wir auch den Zähler 1 mit 3: 1/2 = (1 * 3)/(2 * 3) = 3/6
Um 1/3 auf den Nenner 6 zu erweitern, müssen wir den Nenner 3 mit 2 multiplizieren. Also multiplizieren wir auch den Zähler 1 mit 2: 1/3 = (1 * 2)/(3 * 2) = 2/6
Kürzen von Brüchen
Das Kürzen ist das Gegenteil vom Erweitern. Um einen Bruch zu kürzen, dividieren wir sowohl den Zähler als auch den Nenner durch denselben Teiler. Auch hier ändert sich der Wert des Bruchs nicht, aber der Bruch wird vereinfacht.
Formel: a/b = (a / x)/(b / x), wobei x ein Teiler von a und b ist.
Beispiel: Der Bruch 4/8 kann durch 4 gekürzt werden: 4/8 = (4 / 4)/(8 / 4) = 1/2
Addition und Subtraktion nach dem Gleichnamigmachen
Sobald die Brüche gleichnamig gemacht wurden, können sie wie oben beschrieben addiert oder subtrahiert werden.
Beispiel: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = (3+2)/6 = 5/6
Beispiel: 3/4 - 1/2 = 3/4 - 2/4 = (3-2)/4 = 1/4
Gemischte Zahlen addieren und subtrahieren
Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch. Zum Beispiel ist 21/2 eine gemischte Zahl.
Um gemischte Zahlen zu addieren oder subtrahieren, gibt es zwei Möglichkeiten:
- Umwandlung in unechte Brüche: Wandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche um (Brüche, bei denen der Zähler größer ist als der Nenner). Addiere oder subtrahiere dann die unechten Brüche wie oben beschrieben. Wandle das Ergebnis gegebenenfalls wieder in eine gemischte Zahl um.
- Getrennte Addition/Subtraktion: Addiere oder subtrahiere zuerst die ganzen Zahlen und dann die Brüche separat. Achte darauf, die Brüche vorher gleichnamig zu machen. Wenn bei der Addition der Brüche ein unechter Bruch entsteht, wandle diesen in eine gemischte Zahl um und addiere die ganze Zahl zum Ergebnis der Addition der ganzen Zahlen.
Umwandlung in unechte Brüche
Um eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umzuwandeln, multiplizierst du die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruchs und addierst das Ergebnis zum Zähler. Der Nenner bleibt gleich.
Formel: a b/c = (a * c + b)/c
Beispiel: 21/2 = (2 * 2 + 1)/2 = 5/2
Beispiel: 32/3 = (3 * 3 + 2)/3 = 11/3
Beispiele für die Addition und Subtraktion gemischter Zahlen
Beispiel 1: 11/4 + 21/2
Methode 1 (Umwandlung in unechte Brüche):
11/4 = 5/4
21/2 = 5/2 = 10/4 (gleichnamig machen)
5/4 + 10/4 = 15/4 = 33/4
Methode 2 (Getrennte Addition):
1 + 2 = 3
1/4 + 1/2 = 1/4 + 2/4 = 3/4
Ergebnis: 33/4
Beispiel 2: 42/3 - 11/3
Methode 1 (Umwandlung in unechte Brüche):
42/3 = 14/3
11/3 = 4/3
14/3 - 4/3 = 10/3 = 31/3
Methode 2 (Getrennte Subtraktion):
4 - 1 = 3
2/3 - 1/3 = 1/3
Ergebnis: 31/3
Wichtige Hinweise
- Vereinfache Brüche immer, wenn möglich. Das bedeutet, kürze sie so weit wie möglich.
- Achte darauf, den Hauptnenner korrekt zu bestimmen, um Fehler zu vermeiden.
- Übung macht den Meister! Je mehr du übst, desto sicherer wirst du im Umgang mit Brüchen.
Mit diesen Informationen und etwas Übung wirst du das Addieren und Subtrahieren von Brüchen problemlos meistern!
