Addition Und Subtraktion Von Brüchen
Brüche sind ein fester Bestandteil der Mathematik und begegnen uns im Alltag häufiger als man denkt, beispielsweise beim Kochen, Backen oder beim Teilen von Pizza. Für viele mag das Rechnen mit Brüchen zunächst kompliziert erscheinen, aber mit den richtigen Grundlagen ist es gut zu meistern. Dieser Artikel erklärt die Addition und Subtraktion von Brüchen auf einfache und verständliche Weise, sodass auch Neuankömmlinge in Deutschland oder Personen, die ihre Kenntnisse auffrischen möchten, problemlos damit umgehen können.
Grundlagen: Was ist ein Bruch?
Ein Bruch besteht aus zwei Zahlen, die durch einen horizontalen Strich getrennt sind. Die obere Zahl wird als Zähler bezeichnet und gibt an, wie viele Teile von einem Ganzen vorhanden sind. Die untere Zahl wird als Nenner bezeichnet und gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wurde. Ein Bruch wie 3/4 bedeutet also, dass ein Ganzes in vier gleiche Teile geteilt wurde und wir drei davon haben.
Arten von Brüchen
Es gibt verschiedene Arten von Brüchen:
- Echte Brüche: Der Zähler ist kleiner als der Nenner (z.B. 1/2, 3/4).
- Unechte Brüche: Der Zähler ist größer oder gleich dem Nenner (z.B. 5/4, 7/7).
- Gemischte Zahlen: Bestehen aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch (z.B. 11/2, 23/4).
Ein unechter Bruch kann in eine gemischte Zahl umgewandelt werden und umgekehrt. Zum Beispiel kann der unechte Bruch 5/4 in die gemischte Zahl 11/4 umgewandelt werden, da 5/4 = 4/4 + 1/4 = 1 + 1/4.
Addition von Brüchen
Die Addition von Brüchen ist einfach, wenn die Brüche den gleichen Nenner haben. Wenn die Nenner unterschiedlich sind, müssen sie zuerst gleich gemacht werden (gleichnamig machen).
Brüche mit gleichem Nenner addieren
Wenn zwei oder mehr Brüche den gleichen Nenner haben, addiert man einfach die Zähler und behält den Nenner bei.
Beispiel: 1/5 + 2/5 = (1+2)/5 = 3/5
Allgemeine Formel: a/c + b/c = (a+b)/c
Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren
Wenn die Brüche unterschiedliche Nenner haben, müssen Sie zuerst einen gemeinsamen Nenner finden. Der einfachste gemeinsame Nenner ist oft das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner. Um das kgV zu finden, kann man die Vielfachen der Nenner aufschreiben, bis man eine Zahl findet, die in beiden Reihen vorkommt.
Beispiel: Addieren Sie 1/3 und 1/4.
- Finde das kgV von 3 und 4:
- Vielfache von 3: 3, 6, 9, 12, 15...
- Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16...
Das kgV von 3 und 4 ist 12.
- Mache die Brüche gleichnamig, indem du sie erweiterst:
- Um 1/3 auf den Nenner 12 zu bringen, multiplizierst du Zähler und Nenner mit 4: 1/3 * 4/4 = 4/12
- Um 1/4 auf den Nenner 12 zu bringen, multiplizierst du Zähler und Nenner mit 3: 1/4 * 3/3 = 3/12
- Addiere die gleichnamigen Brüche: 4/12 + 3/12 = (4+3)/12 = 7/12
Allgemeine Formel: a/b + c/d = (a*d)/(b*d) + (b*c)/(b*d) = (ad + bc)/bd
Hinweis: Nach der Addition kann es sinnvoll sein, den Bruch zu kürzen, falls möglich.
Subtraktion von Brüchen
Die Subtraktion von Brüchen funktioniert ähnlich wie die Addition. Auch hier ist es wichtig, dass die Brüche den gleichen Nenner haben.
Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren
Wenn zwei oder mehr Brüche den gleichen Nenner haben, subtrahiert man einfach die Zähler und behält den Nenner bei.
Beispiel: 4/7 - 1/7 = (4-1)/7 = 3/7
Allgemeine Formel: a/c - b/c = (a-b)/c
Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren
Auch bei der Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern muss man zuerst einen gemeinsamen Nenner finden, idealerweise das kgV der Nenner.
Beispiel: Subtrahiere 2/3 - 1/5.
- Finde das kgV von 3 und 5:
- Vielfache von 3: 3, 6, 9, 12, 15...
- Vielfache von 5: 5, 10, 15, 20...
Das kgV von 3 und 5 ist 15.
- Mache die Brüche gleichnamig, indem du sie erweiterst:
- Um 2/3 auf den Nenner 15 zu bringen, multiplizierst du Zähler und Nenner mit 5: 2/3 * 5/5 = 10/15
- Um 1/5 auf den Nenner 15 zu bringen, multiplizierst du Zähler und Nenner mit 3: 1/5 * 3/3 = 3/15
- Subtrahiere die gleichnamigen Brüche: 10/15 - 3/15 = (10-3)/15 = 7/15
Allgemeine Formel: a/b - c/d = (a*d)/(b*d) - (b*c)/(b*d) = (ad - bc)/bd
Hinweis: Nach der Subtraktion kann es sinnvoll sein, den Bruch zu kürzen, falls möglich.
Rechnen mit gemischten Zahlen
Wenn Sie mit gemischten Zahlen rechnen möchten, haben Sie zwei Möglichkeiten:
- Umwandlung in unechte Brüche: Wandeln Sie zuerst die gemischten Zahlen in unechte Brüche um und führen Sie dann die Addition oder Subtraktion wie oben beschrieben durch.
- Getrennte Berechnung: Addieren oder subtrahieren Sie zuerst die ganzen Zahlen und dann die Brüche getrennt. Beachten Sie, dass Sie möglicherweise "ausleihen" oder "übertragen" müssen, ähnlich wie bei der herkömmlichen Addition und Subtraktion.
Beispiel: Umwandlung in unechte Brüche
Berechnen Sie 21/2 + 11/4
- Umwandlung:
- 21/2 = (2 * 2 + 1) / 2 = 5/2
- 11/4 = (1 * 4 + 1) / 4 = 5/4
- Gleichnamig machen: 5/2 * 2/2 = 10/4
- Addition: 10/4 + 5/4 = 15/4
- Umwandlung zurück in eine gemischte Zahl (optional): 15/4 = 33/4
Beispiel: Getrennte Berechnung
Berechnen Sie 32/5 - 11/5
- Subtraktion der ganzen Zahlen: 3 - 1 = 2
- Subtraktion der Brüche: 2/5 - 1/5 = 1/5
- Zusammenfügen: 2 + 1/5 = 21/5
Wenn die Brüche nicht den gleichen Nenner haben, müssen Sie sie, wie oben beschrieben, vor der getrennten Berechnung gleichnamig machen.
Kürzen von Brüchen
Nach der Addition oder Subtraktion ist es oft sinnvoll, den Bruch zu kürzen, d.h. Zähler und Nenner durch den gleichen Faktor zu teilen, um den Bruch so einfach wie möglich darzustellen. Dazu sucht man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner und teilt beide durch diesen Teiler.
Beispiel: Der Bruch 6/8 kann gekürzt werden.
- Die Teiler von 6 sind 1, 2, 3 und 6.
- Die Teiler von 8 sind 1, 2, 4 und 8.
- Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 6 und 8 ist 2.
- Teile Zähler und Nenner durch 2: 6/2 / 8/2 = 3/4
Der gekürzte Bruch ist 3/4.
Zusammenfassung
Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen mag anfangs etwas knifflig erscheinen, aber mit diesen Schritten und etwas Übung wird es bald zur Routine. Denken Sie daran, dass der Schlüssel darin liegt, die Brüche gleichnamig zu machen, bevor Sie addieren oder subtrahieren. Nutzen Sie die obigen Beispiele als Leitfaden und scheuen Sie sich nicht, bei Bedarf einen Taschenrechner zur Hilfe zu nehmen. Mit Geduld und Ausdauer werden Sie bald ein Experte im Umgang mit Brüchen!
