Brüche Erweitern Und Kürzen Arbeitsblatt

Das Erweitern und Kürzen von Brüchen ist eine grundlegende Fähigkeit in der Mathematik, die für viele weitere Konzepte unerlässlich ist. Ob beim Kochen, beim Bauen oder im Finanzwesen – Brüche begegnen uns im Alltag ständig. Dieses Arbeitsblatt und die zugehörigen Erklärungen sollen Ihnen helfen, diese Fähigkeit zu meistern.

Was sind Brüche überhaupt?

Ein Bruch stellt einen Teil eines Ganzen dar. Er besteht aus zwei Teilen:

• Zähler: Die Zahl oberhalb des Bruchstrichs. Er gibt an, wie viele Teile wir von dem Ganzen haben.
• Nenner: Die Zahl unterhalb des Bruchstrichs. Er gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt ist.

Beispiel: Der Bruch ³/₄ bedeutet, dass ein Ganzes in vier gleich große Teile geteilt wurde und wir drei dieser Teile haben.

Warum ist das Erweitern und Kürzen von Brüchen wichtig?

Das Erweitern und Kürzen von Brüchen verändert den Wert des Bruchs nicht. Sie verändern lediglich die Darstellung. Dies ist aus verschiedenen Gründen wichtig:

• Vergleich von Brüchen: Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern vergleichen zu können, müssen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dies geschieht durch Erweitern.
• Addition und Subtraktion von Brüchen: Auch hier benötigen wir einen gemeinsamen Nenner, um Brüche addieren oder subtrahieren zu können.
• Vereinfachung von Rechnungen: Das Kürzen von Brüchen kann Rechnungen erheblich vereinfachen, indem die Zahlen kleiner und handlicher werden.
• Deutliche Darstellung: Oft ist ein gekürzter Bruch leichter verständlich und übersichtlicher.

Das Erweitern von Brüchen

Erweitern bedeutet, Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl zu multiplizieren. Der Wert des Bruchs bleibt dabei unverändert. Stellen Sie sich vor, Sie schneiden eine Pizza in vier Stücke (¹/₄) und dann jedes Stück noch einmal in zwei Hälften. Jetzt haben Sie acht Stücke (²/₈), aber die Gesamtmenge der Pizza ist gleich geblieben.

Wie funktioniert das Erweitern?

1. Wähle eine Zahl, mit der du erweitern möchtest. Diese Zahl darf nicht Null sein.
2. Multipliziere den Zähler mit dieser Zahl.
3. Multipliziere den Nenner mit derselben Zahl.

Beispiel: Wir möchten den Bruch ¹/₂ mit 3 erweitern.

Zähler: 1 * 3 = 3

Nenner: 2 * 3 = 6

Ergebnis: ¹/₂ erweitert mit 3 ist ³/₆.

Finden eines gemeinsamen Nenners

Oft müssen wir Brüche so erweitern, dass sie einen gemeinsamen Nenner haben. Dazu suchen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner.

Beispiel: Wir möchten die Brüche ¹/₃ und ¹/₄ auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

1. Bestimme die Vielfachen der Nenner:
   • Vielfache von 3: 3, 6, 9, 12, 15, ...
   • Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16, 20, ...
2. Finde das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV): In diesem Fall ist das kgV 12.
3. Erweitere die Brüche, sodass sie den Nenner 12 haben:
   • ¹/₃ erweitern mit 4: (1 * 4) / (3 * 4) = ⁴/₁₂
   • ¹/₄ erweitern mit 3: (1 * 3) / (4 * 3) = ³/₁₂

Nun haben wir die Brüche ⁴/₁₂ und ³/₁₂, die wir leicht vergleichen oder addieren/subtrahieren können.

Das Kürzen von Brüchen

Kürzen bedeutet, Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl zu dividieren. Auch hier bleibt der Wert des Bruchs unverändert. Stellen Sie sich vor, Sie haben einen Kuchen in acht Stücke geschnitten und essen vier davon (⁴/₈). Sie könnten auch sagen, Sie haben die Hälfte des Kuchens gegessen (¹/₂). Beide Brüche stellen denselben Anteil dar.

Wie funktioniert das Kürzen?

1. Finde einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. Das ist eine Zahl, durch die sich sowohl der Zähler als auch der Nenner ohne Rest teilen lassen.
2. Dividiere den Zähler durch diesen Teiler.
3. Dividiere den Nenner durch denselben Teiler.

Beispiel: Wir möchten den Bruch ⁶/₈ kürzen.

1. Finde einen gemeinsamen Teiler: Sowohl 6 als auch 8 sind durch 2 teilbar.
2. Dividiere den Zähler durch 2: 6 / 2 = 3
3. Dividiere den Nenner durch 2: 8 / 2 = 4

Ergebnis: ⁶/₈ gekürzt durch 2 ist ³/₄.

Den größten gemeinsamen Teiler (ggT) finden

Um einen Bruch so weit wie möglich zu kürzen, suchen wir den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner. Wenn wir Zähler und Nenner durch den ggT dividieren, erhalten wir den unreducierbaren Bruch.

Beispiel: Wir möchten den Bruch ¹²/₁₈ so weit wie möglich kürzen.

1. Bestimme die Teiler von Zähler und Nenner:
   • Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
   • Teiler von 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
2. Finde den größten gemeinsamen Teiler (ggT): In diesem Fall ist der ggT 6.
3. Dividiere Zähler und Nenner durch den ggT:
   • 12 / 6 = 2
   • 18 / 6 = 3

Ergebnis: ¹²/₁₈ gekürzt ist ²/₃. Dies ist der unreducierbare Bruch, da 2 und 3 keine gemeinsamen Teiler außer 1 haben.

Arbeitsblatt-Übungen

Um das Erweitern und Kürzen von Brüchen zu üben, können Sie verschiedene Aufgaben auf Arbeitsblättern bearbeiten. Hier sind einige Beispiele für Übungen, die typischerweise vorkommen:

• Brüche erweitern: Erweitern Sie den Bruch ²/₅ mit 3, 4 und 5.
• Brüche kürzen: Kürzen Sie die Brüche ⁸/₁₂, ¹⁵/₂₀ und ²⁴/₃₆ so weit wie möglich.
• Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen: Bringen Sie die Brüche ¹/₂ und ²/₃ auf einen gemeinsamen Nenner.
• Vergleich von Brüchen: Welcher Bruch ist größer: ³/₄ oder ⁵/₈? (Hinweis: Bringen Sie die Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner.)

Tipps und Tricks

• Primfaktorzerlegung: Die Primfaktorzerlegung kann helfen, den ggT zu finden. Zerlegen Sie Zähler und Nenner in ihre Primfaktoren und identifizieren Sie die gemeinsamen Primfaktoren.
• Teilbarkeitsregeln: Nutzen Sie Teilbarkeitsregeln, um schnell gemeinsame Teiler zu erkennen (z.B. eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist; eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet).
• Übung macht den Meister: Je mehr Sie üben, desto schneller und sicherer werden Sie im Erweitern und Kürzen von Brüchen.

Zusammenfassung

Das Erweitern und Kürzen von Brüchen sind essenzielle Fähigkeiten in der Mathematik. Sie ermöglichen es uns, Brüche zu vergleichen, zu addieren, zu subtrahieren und Rechnungen zu vereinfachen. Durch das Finden von gemeinsamen Vielfachen und Teilern können wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen oder sie so weit wie möglich kürzen. Mit etwas Übung werden Sie diese Techniken beherrschen und Brüche sicher anwenden können.

Viel Erfolg beim Üben!