Brüche Erweitern Und Kürzen übungen

Brüche sind ein grundlegender Bestandteil der Mathematik und spielen eine wichtige Rolle im Alltag, sei es beim Kochen, beim Teilen von Pizza oder beim Verstehen von Finanzberichten. Das Erweitern und Kürzen von Brüchen sind essenzielle Fertigkeiten, um mit Brüchen effizient umzugehen und sie zu vergleichen oder zu addieren und subtrahieren. Dieser Artikel erklärt detailliert, was Erweitern und Kürzen bedeutet, wie es funktioniert und warum es wichtig ist, mit vielen praktischen Beispielen und Übungen.

Was bedeutet Erweitern von Brüchen?

Erweitern eines Bruches bedeutet, sowohl den Zähler (die obere Zahl) als auch den Nenner (die untere Zahl) mit derselben Zahl zu multiplizieren. Das Ergebnis ist ein neuer Bruch, der denselben Wert wie der ursprüngliche Bruch hat. Man verändert also nicht den Wert des Bruches, sondern nur seine Darstellung.

Warum erweitert man Brüche?

Der Hauptgrund für das Erweitern von Brüchen ist, sie gleichnamig zu machen. Das bedeutet, dass mehrere Brüche denselben Nenner haben. Dies ist notwendig, um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren. Auch zum Vergleichen von Brüchen kann das Erweitern hilfreich sein.

Wie erweitert man Brüche?

Die Vorgehensweise ist sehr einfach:

1. Wähle eine Zahl zum Erweitern: Diese Zahl kann jede beliebige Zahl sein, außer Null. In der Praxis wählt man die Zahl oft so, dass der resultierende Nenner ein gemeinsames Vielfaches der ursprünglichen Nenner ist.
2. Multipliziere Zähler und Nenner: Multipliziere sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruches mit der gewählten Zahl.

Beispiel: Wir wollen den Bruch ¹/₂ mit 3 erweitern.

¹/₂ = (1 * 3) / (2 * 3) = ³/₆

¹/₂ und ³/₆ sind also gleichwertige Brüche.

Übungen zum Erweitern von Brüchen:

Erweitere die folgenden Brüche mit der angegebenen Zahl:

1. ²/₃ mit 4
2. ¹/₅ mit 2
3. ³/₄ mit 5
4. ⁵/₆ mit 3
5. ⁷/₈ mit 2

Lösungen:

1. ⁸/₁₂
2. ²/₁₀
3. ¹⁵/₂₀
4. ¹⁵/₁₈
5. ¹⁴/₁₆

Was bedeutet Kürzen von Brüchen?

Kürzen eines Bruches bedeutet, sowohl den Zähler als auch den Nenner durch dieselbe Zahl zu teilen. Auch hier gilt, dass der Wert des Bruches nicht verändert wird, sondern nur seine Darstellung. Das Ziel des Kürzens ist es, den Bruch so weit wie möglich zu vereinfachen, bis er nicht mehr weiter gekürzt werden kann. Diesen Zustand nennt man vollständig gekürzter Bruch.

Warum kürzt man Brüche?

Das Kürzen von Brüchen dient der Vereinfachung. Ein gekürzter Bruch ist übersichtlicher und leichter zu handhaben als ein ungekürzter Bruch. Darüber hinaus ist es oft leichter, mit kleineren Zahlen zu rechnen.

Wie kürzt man Brüche?

Die Vorgehensweise ist wie folgt:

1. Finde einen gemeinsamen Teiler: Finde eine Zahl, durch die sowohl der Zähler als auch der Nenner teilbar sind.
2. Teile Zähler und Nenner: Teile sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruches durch den gemeinsamen Teiler.
3. Wiederhole: Wiederhole die Schritte 1 und 2, bis es keinen gemeinsamen Teiler mehr gibt (außer 1).

Beispiel: Wir wollen den Bruch ⁶/₈ kürzen.

Sowohl 6 als auch 8 sind durch 2 teilbar.

⁶/₈ = (6 / 2) / (8 / 2) = ³/₄

³/₄ ist nicht weiter kürzbar, da 3 und 4 keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben. Somit ist ³/₄ die vollständig gekürzte Form von ⁶/₈.

Den größten gemeinsamen Teiler (ggT) finden

Um einen Bruch in einem Schritt vollständig zu kürzen, muss man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner finden. Es gibt verschiedene Methoden, den ggT zu bestimmen, beispielsweise durch Primfaktorzerlegung oder den euklidischen Algorithmus.

Beispiel: Wir wollen den Bruch ²⁴/₃₆ kürzen.

Die Primfaktorzerlegung von 24 ist 2 * 2 * 2 * 3. Die Primfaktorzerlegung von 36 ist 2 * 2 * 3 * 3.

Der ggT ist also 2 * 2 * 3 = 12.

²⁴/₃₆ = (24 / 12) / (36 / 12) = ²/₃

²/₃ ist die vollständig gekürzte Form von ²⁴/₃₆.

Übungen zum Kürzen von Brüchen:

Kürze die folgenden Brüche so weit wie möglich:

1. ⁴/₆
2. ⁸/₁₂
3. ¹⁰/₁₅
4. ¹²/₁₈
5. ¹⁶/₂₀

Lösungen:

1. ²/₃
2. ²/₃
3. ²/₃
4. ²/₃
5. ⁴/₅

Erweitern und Kürzen kombinieren

Manchmal ist es notwendig, Brüche zuerst zu erweitern und dann zu kürzen oder umgekehrt, um sie für bestimmte Operationen vorzubereiten. Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Operationen den Wert des Bruches nicht verändern, sondern nur seine Form.

Beispiel: Wir wollen die Brüche ¹/₄ und ³/₈ addieren.

Zuerst müssen wir die Brüche gleichnamig machen. Wir können ¹/₄ mit 2 erweitern, um den Nenner 8 zu erhalten.

¹/₄ = (1 * 2) / (4 * 2) = ²/₈

Nun können wir die Brüche addieren:

²/₈ + ³/₈ = ⁵/₈

Der Bruch ⁵/₈ ist bereits vollständig gekürzt.

Wichtige Hinweise

• Null: Man darf niemals mit Null erweitern oder durch Null kürzen. Die Multiplikation mit Null führt immer zu Null, und die Division durch Null ist nicht definiert.
• Gleiche Zahl: Beim Erweitern oder Kürzen muss immer dieselbe Zahl für Zähler und Nenner verwendet werden.
• Übung macht den Meister: Je mehr du übst, desto leichter wird es dir fallen, Brüche zu erweitern und zu kürzen.

Das Erweitern und Kürzen von Brüchen sind grundlegende mathematische Fähigkeiten, die in vielen Bereichen Anwendung finden. Durch regelmäßiges Üben wirst du sicher im Umgang mit Brüchen und kannst komplexe Aufgaben leichter lösen. Bleibe dran und scheue dich nicht, weitere Übungsaufgaben zu suchen, um deine Kenntnisse zu vertiefen!