Brüche Kürzen Und Erweitern übungen

Das Kürzen und Erweitern von Brüchen sind grundlegende Fertigkeiten in der Mathematik, die nicht nur für das Rechnen mit Brüchen selbst unerlässlich sind, sondern auch für komplexere mathematische Operationen. Sie ermöglichen es, Brüche in eine einfachere oder passendere Form zu bringen, ohne ihren Wert zu verändern. Dieser Artikel erklärt die Prinzipien des Kürzens und Erweiterns von Brüchen und bietet praktische Übungen, um diese Fähigkeiten zu festigen.

Was bedeutet Kürzen von Brüchen?

Das Kürzen eines Bruches bedeutet, sowohl den Zähler (die Zahl oberhalb des Bruchstrichs) als auch den Nenner (die Zahl unterhalb des Bruchstrichs) durch denselben Wert zu teilen. Ziel ist es, den Bruch in seiner einfachsten Form darzustellen, d.h., dass Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben, außer 1. Dies macht den Bruch leichter verständlich und handhabbar.

Beispiel: Der Bruch 6/8 kann gekürzt werden. Sowohl 6 als auch 8 sind durch 2 teilbar. Teilt man beide durch 2, erhält man 3/4. Dieser Bruch (3/4) ist die gekürzte Form von 6/8, da 3 und 4 keine gemeinsamen Teiler außer 1 haben.

Wie kürzt man einen Bruch?

Finde einen gemeinsamen Teiler: Suche nach einer Zahl, durch die sowohl der Zähler als auch der Nenner ohne Rest teilbar sind. Oft ist es hilfreich, mit kleinen Zahlen wie 2, 3, 5, 7 usw. zu beginnen.
Teile Zähler und Nenner: Teile sowohl den Zähler als auch den Nenner durch den gefundenen gemeinsamen Teiler.
Überprüfe erneut: Stelle sicher, dass der neue Zähler und Nenner keine weiteren gemeinsamen Teiler haben. Wenn ja, wiederhole die Schritte 1 und 2.

Beispiel: Kürze den Bruch 24/36.

24 und 36 sind beide durch 2 teilbar: 24/2 = 12, 36/2 = 18. Der Bruch wird zu 12/18.
12 und 18 sind wieder beide durch 2 teilbar: 12/2 = 6, 18/2 = 9. Der Bruch wird zu 6/9.
6 und 9 sind beide durch 3 teilbar: 6/3 = 2, 9/3 = 3. Der Bruch wird zu 2/3.
2 und 3 haben keine gemeinsamen Teiler außer 1. Der Bruch 2/3 ist die gekürzte Form von 24/36.

Was bedeutet Erweitern von Brüchen?

Das Erweitern eines Bruches bedeutet, sowohl den Zähler als auch den Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren. Im Gegensatz zum Kürzen, wo man den Bruch vereinfacht, verändert das Erweitern die Form des Bruchs, aber nicht seinen Wert. Dies ist besonders nützlich, wenn man Brüche mit unterschiedlichen Nennern vergleichen oder addieren/subtrahieren möchte.

Beispiel: Der Bruch 1/2 kann erweitert werden. Multipliziert man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit 3, erhält man 3/6. Der Bruch 3/6 ist eine erweiterte Form von 1/2. Beide Brüche haben den gleichen Wert.

Wie erweitert man einen Bruch?

Wähle einen Faktor: Wähle eine Zahl, mit der du Zähler und Nenner multiplizieren möchtest. Die Wahl des Faktors hängt oft vom Kontext der Aufgabe ab (z.B. um einen bestimmten Nenner zu erreichen).
Multipliziere Zähler und Nenner: Multipliziere sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dem gewählten Faktor.

Beispiel: Erweitere den Bruch 3/5 mit dem Faktor 4.

Multipliziere den Zähler (3) mit 4: 3 * 4 = 12.
Multipliziere den Nenner (5) mit 4: 5 * 4 = 20.
Der erweiterte Bruch ist 12/20.

Übungen zum Kürzen und Erweitern

Um das Kürzen und Erweitern von Brüchen zu beherrschen, ist Übung entscheidend. Hier sind einige Übungen mit Lösungen, um dein Verständnis zu festigen:

Kürzen

Kürze den Bruch 12/18.
Kürze den Bruch 20/30.
Kürze den Bruch 45/60.
Kürze den Bruch 36/48.
Kürze den Bruch 75/100.

Lösungen:

Erweitern

Erweitere den Bruch 1/3 mit dem Faktor 5.
Erweitere den Bruch 2/7 mit dem Faktor 3.
Erweitere den Bruch 3/4 mit dem Faktor 2.
Erweitere den Bruch 5/8 mit dem Faktor 4.
Erweitere den Bruch 1/6 mit dem Faktor 7.

Lösungen:

5/15
6/21
6/8
20/32
7/42

Kürzen und Erweitern Kombiniert

Diese Übungen erfordern das kombinierte Anwenden beider Techniken, um einen bestimmten Nenner zu erreichen.

Mache den Bruch 1/2 zu einem Bruch mit dem Nenner 8.
Mache den Bruch 3/5 zu einem Bruch mit dem Nenner 15.
Mache den Bruch 6/8 zu einem Bruch mit dem Nenner 4.
Mache den Bruch 12/16 zu einem Bruch mit dem Nenner 4.
Mache den Bruch 4/6 zu einem Bruch mit dem Nenner 3.

Lösungen:

4/8 (Erweitern mit 4)
9/15 (Erweitern mit 3)
3/4 (Kürzen mit 2)
3/4 (Kürzen mit 4)
2/3 (Kürzen mit 2)

Tipps und Tricks

Primfaktorzerlegung: Bei größeren Zahlen kann die Primfaktorzerlegung helfen, den größten gemeinsamen Teiler (für das Kürzen) oder den passenden Erweiterungsfaktor zu finden.
Der größte gemeinsame Teiler (ggT): Der ggT von Zähler und Nenner ist die größte Zahl, durch die beide teilbar sind. Das Teilen durch den ggT führt direkt zur gekürzten Form.
Der kleinste gemeinsame Vielfache (kgV): Das kgV von mehreren Nennern ist der kleinste gemeinsame Nenner, der benötigt wird, um Brüche gleichnamig zu machen (und sie dann addieren oder subtrahieren zu können).
Übung macht den Meister: Je mehr du übst, desto schneller und sicherer wirst du im Kürzen und Erweitern von Brüchen.
Online-Rechner: Es gibt viele Online-Rechner, die beim Kürzen und Erweitern helfen können. Diese sind besonders nützlich zur Überprüfung deiner Ergebnisse.

Wichtig: Der Wert eines Bruchs ändert sich nicht durch das Kürzen oder Erweitern. Nur die Darstellung wird verändert.

Anwendungsbeispiele im Alltag

Brüche und das Kürzen/Erweitern finden im Alltag vielfältige Anwendungen:

Kochen: Rezepte geben oft Zutaten in Bruchzahlen an. Das Kürzen oder Erweitern hilft, die Mengen an die tatsächliche Anzahl der Personen anzupassen.
Handwerk: Beim Bauen oder Basteln werden oft Materialien in Bruchteilen von Maßeinheiten benötigt.
Finanzen: Zinsen, Rabatte oder Anteile werden oft als Brüche oder Prozentsätze ausgedrückt.
Zeit: Die Angabe von Zeitabschnitten kann ebenfalls in Brüchen erfolgen (z.B. eine viertel Stunde).

Das Verständnis und die sichere Anwendung des Kürzens und Erweiterns von Brüchen sind somit nicht nur für die Mathematik wichtig, sondern auch für viele alltägliche Situationen. Regelmäßiges Üben und die Anwendung der hier vorgestellten Tipps werden dir helfen, diese Fertigkeit zu meistern.