Derivative Of Implicit Functions

Also, mal ehrlich, wer hat sich eigentlich implizite Funktionen ausgedacht? War das jemand, der Spaß daran hatte, das Leben komplizierter zu machen? Ich bin mir da ziemlich sicher.

Klar, alle reden davon, wie elegant das ist. "Oh, es ist so viel allgemeiner!" Bla bla bla. Aber ich sag's euch, wenn ich eine Gleichung sehe, die nicht in der Form "y = irgendwas mit x" ist, rollen sich mir innerlich die Fußnägel auf.

Das Spiel mit dem "y"

Nehmen wir mal an, wir haben so ein Monster: x² + y² = 25. Ein Kreis! Ganz nett. Aber jetzt sollen wir die Ableitung finden. Und was machen wir? Wir behandeln das "y" plötzlich wie eine kleine, eigensinnige Person, die ihr eigenes Ding durchzieht. Wir schreiben (dy/dx) dran, als ob das alles ganz normal wäre. Ist es aber nicht!

Ich finde, das ist wie Schummeln mit Stil. Wir tun so, als ob wir wüssten, wie "y" sich in Bezug auf "x" verändert, obwohl wir die Beziehung gar nicht explizit sehen. Das ist so, als würde man versuchen, ein Rezept zu backen, ohne die Zutatenliste zu kennen. Viel Glück dabei!

Kettenregel, meine alte Freundin (oder Feindin?)

Und dann kommt die Kettenregel ins Spiel. Die Kettenregel! Die ist ja schon ohne implizite Funktionen kompliziert genug. Aber nein, wir müssen sie noch mit einem "y" verheiraten, das sich versteckt. "Oh, aber es ist doch nur eine zusätzliche Variable!" Ja, genau. Nur eine. Als ob eine Variable mehr keinen Unterschied machen würde! Das ist wie zu sagen: "Ach, ein bisschen mehr Stress macht doch nichts!"

Ich erinnere mich an meine erste Begegnung mit impliziter Differentiation. Ich saß da, starrte auf die Gleichung und dachte: "Das kann doch nicht deren Ernst sein!" Ich habe mehr Zeit damit verbracht, herauszufinden, wann ich (dy/dx) hinzufügen muss, als mit dem eigentlichen Ableiten. Es war ein Albtraum.

Das "dy/dx"-Mysterium

Dieses (dy/dx) ist sowieso verdächtig. Es sieht aus wie ein kleiner Bruch, aber es ist keiner. Es ist ein Operator! Eine Art Zauberformel, die wir auf "y" anwenden, um es in etwas Brauchbares zu verwandeln. Es ist, als würde man versuchen, einen Drachen zu zähmen. Man weiß nie, wann er einem in den Finger beißt.

Und dann, am Ende, haben wir eine Gleichung, die (dy/dx) enthält. Super! Jetzt müssen wir das noch isolieren. Das ist wie die Suche nach der Nadel im Heuhaufen. Nur dass die Nadel ein (dy/dx) ist und der Heuhaufen aus algebraischen Termen besteht.

Aber was ich wirklich nicht verstehe, ist, warum wir das überhaupt machen. Klar, es gibt Situationen, in denen es nützlich ist. Aber meistens denke ich mir: Könnte man das nicht auch anders lösen? Vielleicht mit mehr Aufwand, aber dafür ohne dieses ganze implizite Gedöns?

Vielleicht bin ich ja einfach nur zu faul. Vielleicht sind implizite Funktionen ja wirklich so elegant, wie alle sagen. Aber ich bleibe dabei: Ich finde sie unnötig kompliziert. Ich würde lieber jeden Tag Ableitungen von expliziten Funktionen berechnen, als mich noch einmal mit einem impliziten Monster herumzuschlagen.

Meine bescheidene Meinung

Ich weiß, das ist vielleicht eine unpopuläre Meinung. Aber ich stehe dazu. Implizite Funktionen sind wie ein kompliziertes Videospiel, das keinen Spaß macht. Man verbringt mehr Zeit damit, die Regeln zu lernen, als das Spiel zu genießen.

Und wenn wir ehrlich sind, wie oft braucht man das wirklich im echten Leben? Außerhalb der Mathematik-Klausur, versteht sich. Ich habe noch nie jemanden sagen hören: "Oh, ich bin so froh, dass ich heute Morgen die Ableitung einer impliziten Funktion berechnen konnte! Das hat mir wirklich den Tag gerettet!"

Also, falls ihr mich sucht, ich sitze wahrscheinlich irgendwo und versuche, eine Gleichung in die Form "y = irgendwas mit x" zu bringen. Denn das ist das Einzige, was für mich wirklich Sinn macht. Und wenn nicht, dann rechne ich lieber etwas ganz anderes, vielleicht Stochastik.