Exponentielles Wachstum Aufgaben Mit Lösungen Klasse 10 Pdf

Exponentiales Wachstum ist ein wichtiges Konzept in der Mathematik, das in der 10. Klasse behandelt wird. Es beschreibt Prozesse, bei denen eine Größe sich in gleichen Zeitabschnitten immer um den gleichen Faktor vervielfältigt. Dieses Konzept findet Anwendung in vielen Bereichen des Lebens, von Biologie (Bakterienwachstum) über Finanzwesen (Zinseszins) bis hin zu Physik (radioaktiver Zerfall).

Grundlagen des exponentiellen Wachstums

Die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum lautet:

f(t) = a * b^t

Wobei:

f(t) der Wert der Funktion zum Zeitpunkt t ist.
a der Anfangswert zum Zeitpunkt t = 0 ist.
b der Wachstumsfaktor ist (b > 1 für Wachstum, 0 < b < 1 für Abnahme, auch exponentieller Zerfall genannt).
t die Zeit ist.

Der Wachstumsfaktor b kann auch als (1 + p) ausgedrückt werden, wobei p die Wachstumsrate in Dezimalform ist. Zum Beispiel, wenn eine Population jährlich um 5% wächst, ist p = 0,05 und b = 1,05.

Beispiel 1: Bakterienwachstum

Angenommen, eine Bakterienkultur beginnt mit 100 Bakterien. Die Bakterien vermehren sich so, dass sich ihre Anzahl jede Stunde verdoppelt. Wie viele Bakterien sind nach 5 Stunden vorhanden?

Lösung:

Anfangswert a = 100
Wachstumsfaktor b = 2 (Verdopplung)
Zeit t = 5

Einsetzen in die Formel:

f(5) = 100 * 2⁵ = 100 * 32 = 3200

Nach 5 Stunden sind 3200 Bakterien vorhanden.

Beispiel 2: Zinseszins

Du investierst 1000 Euro auf einem Konto, das jährlich 3% Zinseszins zahlt. Wie viel Geld hast du nach 10 Jahren?

Lösung:

Anfangswert a = 1000
Wachstumsfaktor b = 1 + 0,03 = 1,03
Zeit t = 10

Einsetzen in die Formel:

f(10) = 1000 * 1,03¹⁰ ≈ 1000 * 1,3439 = 1343,92

Nach 10 Jahren hast du etwa 1343,92 Euro.

Aufgaben zum Üben

Hier sind einige typische Aufgaben zum exponentiellen Wachstum, die in der 10. Klasse vorkommen können. Versuche, sie selbst zu lösen, bevor du die Lösungen weiter unten ansiehst.

Eine Population von Insekten wächst jährlich um 15%. Wenn die Population heute 5000 Insekten beträgt, wie viele Insekten wird es in 3 Jahren geben?
Ein radioaktives Material zerfällt exponentiell. Seine Halbwertszeit beträgt 20 Jahre. Wenn am Anfang 100 Gramm vorhanden sind, wie viele Gramm sind nach 60 Jahren noch vorhanden?
Der Wert eines Autos nimmt jährlich um 8% ab. Wenn das Auto neu 25.000 Euro gekostet hat, welchen Wert hat es nach 5 Jahren?
Eine Investition verdoppelt sich alle 7 Jahre. Wie hoch ist der jährliche Zinssatz (ungefähr)?

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Hier sind die Lösungen zu den oben genannten Übungsaufgaben:

Lösung zu Aufgabe 1:
- a = 5000
- b = 1 + 0,15 = 1,15
- t = 3
f(3) = 5000 * 1,15³ ≈ 5000 * 1,5209 = 7604,5

Es wird etwa 7605 Insekten geben (gerundet).
Lösung zu Aufgabe 2:

Hier handelt es sich um exponentiellen Zerfall. Da die Halbwertszeit 20 Jahre beträgt, halbiert sich die Menge alle 20 Jahre.
- a = 100
- Nach 20 Jahren: 50 Gramm
- Nach 40 Jahren: 25 Gramm
- Nach 60 Jahren: 12,5 Gramm
Alternativ kann man die Formel für exponentiellen Zerfall verwenden: f(t) = a * (1/2)^{(t/Halbwertszeit)}

f(60) = 100 * (1/2)^(60/20) = 100 * (1/2)³ = 100 * (1/8) = 12,5

Nach 60 Jahren sind noch 12,5 Gramm vorhanden.
Lösung zu Aufgabe 3:

Hier handelt es sich um exponentielle Abnahme.
- a = 25000
- b = 1 - 0,08 = 0,92
- t = 5
f(5) = 25000 * 0,92⁵ ≈ 25000 * 0,65908 = 16477

Nach 5 Jahren hat das Auto einen Wert von etwa 16477 Euro.
Lösung zu Aufgabe 4:

Wir suchen den Wachstumsfaktor b, so dass b⁷ = 2. Um b zu finden, nehmen wir die 7. Wurzel von 2:

b = ⁷√2 ≈ 1,1041

Der jährliche Zinssatz ist p = b - 1 = 1,1041 - 1 = 0,1041, also etwa 10,41%.

Tipps zum Lösen von Aufgaben zum exponentiellen Wachstum

Formel verstehen: Stelle sicher, dass du die allgemeine Formel f(t) = a * b^t verstehst und weißt, was jeder Parameter bedeutet.
Anfangswert identifizieren: Finde den Anfangswert a. Dies ist der Wert zum Zeitpunkt t = 0.
Wachstumsfaktor bestimmen: Bestimme den Wachstumsfaktor b. Achte darauf, ob es sich um Wachstum (b > 1) oder Abnahme (0 < b < 1) handelt. Wenn eine Wachstumsrate in Prozent gegeben ist, rechne sie in eine Dezimalzahl um und addiere sie zu 1 (für Wachstum) oder subtrahiere sie von 1 (für Abnahme).
Zeit angeben: Identifiziere die Zeit t, für die du den Wert berechnen sollst.
Einsetzen und berechnen: Setze die Werte in die Formel ein und berechne das Ergebnis. Verwende einen Taschenrechner, um die Potenz zu berechnen.
Einheiten beachten: Achte darauf, dass die Einheiten konsistent sind. Wenn die Wachstumsrate pro Jahr angegeben ist, muss die Zeit in Jahren gemessen werden.
Exponentialfunktion zeichnen: Es kann hilfreich sein, die Exponentialfunktion zu skizzieren, um ein besseres Verständnis des Wachstumsverhaltens zu bekommen.
Logarithmen verwenden: Bei manchen Aufgaben muss die Zeit *t* berechnet werden. In diesem Fall werden Logarithmen benötigt, um die Gleichung nach *t* aufzulösen (dies geht meist über den Stoff der 10. Klasse hinaus, ist aber für weiterführende Kurse relevant).

Zusammenfassung

Das exponentielle Wachstum ist ein wichtiges Konzept mit vielen praktischen Anwendungen. Indem du die Grundlagen verstehst und übst, Aufgaben zu lösen, kannst du dieses Konzept sicher beherrschen. Denke daran, die Formel zu verstehen, die Parameter zu identifizieren und sorgfältig zu rechnen. Mit etwas Übung wirst du in der Lage sein, Aufgaben zum exponentiellen Wachstum in der 10. Klasse erfolgreich zu lösen. Viel Erfolg!