Formula For The Variance

Stell dir vor, du bist auf einem Jahrmarkt. Und nicht irgendeinem Jahrmarkt, sondern dem Jahrmarkt der Superlative! Einer der Spiele dort ist das “Schätz-die-Anzahl-der-Gummibärchen-im-Glas”-Spiel. Super einfach, oder? Jeder gibt einen Tipp ab, wie viele Gummibärchen im riesigen Glas stecken. Der, der am nächsten dran ist, gewinnt einen riesigen Plüsch-Einhorn, das man kaum nach Hause schleppen kann!

Jetzt haben 5 deiner Freunde mitgemacht: Anna tippt 250, Ben 280, Clara 300, David 320 und Emma 350. Ihr wollt wissen, wie weit eure Schätzungen auseinander liegen, wie "verstreut" eure Tipps sind. Dafür gibt es ein magisches Werkzeug: die Varianz! Sie ist wie ein Maßband für die Unterschiedlichkeit eurer Tipps.

Schritt 1: Der Durchschnitt – Das Zentrum des Gummibärchen-Universums

Zuerst brauchen wir den Durchschnitt. Der Durchschnitt ist, als ob alle ihre Gummibärchen-Tipps in einen Topf werfen und wir sie dann gleichmäßig auf alle verteilen. In unserem Fall addieren wir alle Tipps (250 + 280 + 300 + 320 + 350) und teilen das Ergebnis durch die Anzahl der Freunde (5). Das ergibt: 300. Tada! Der Durchschnitt ist 300. Das ist unser "Zentrum", um das herum sich alles dreht.

Schritt 2: Die Abweichungen – Wer liegt wie weit daneben?

Jetzt kommt der spannende Teil! Wir schauen uns an, wie weit jeder Tipp vom Durchschnitt entfernt ist. Anna hat 250 getippt, also liegt sie 50 Gummibärchen unter dem Durchschnitt (300 - 250 = 50). Ben liegt 20 unter dem Durchschnitt (300 - 280 = 20). Clara liegt genau richtig! (300 - 300 = 0). David liegt 20 über dem Durchschnitt (320 - 300 = -20) und Emma liegt 50 über dem Durchschnitt (350 - 300 = -50). Diese Zahlen sind die *Abweichungen*.

Schritt 3: Quadrate! – Macht das Minus zum Plus und die Unterschiede größer!

Hier kommt der Trick! Wir quadrieren jede dieser Abweichungen. Warum? Weil wir keine Lust auf negative Zahlen haben! Außerdem werden größere Abweichungen dadurch noch größer betont. Denk dran: 50² (50 * 50) ist 2500, 20² (20 * 20) ist 400, und 0² ist immer noch 0. David hatte eine Abweichung von -20, wird aber nach dem Quadrieren zu 400. Emma hatte eine Abweichung von -50, wird aber nach dem Quadrieren zu 2500. Das Quadrieren macht die Rechnung einfacher, da wir uns nicht um die Vorzeichen kümmern müssen.

Jetzt haben wir: Annas quadrierte Abweichung: 2500, Bens quadrierte Abweichung: 400, Claras quadrierte Abweichung: 0, Davids quadrierte Abweichung: 400, Emmas quadrierte Abweichung: 2500.

Schritt 4: Der Durchschnitt der Quadrate – Die Varianz in ihrer ganzen Pracht!

Fast geschafft! Jetzt addieren wir alle quadrierten Abweichungen: 2500 + 400 + 0 + 400 + 2500 = 5800. Und dann teilen wir das Ergebnis durch die Anzahl der Freunde (5), um den Durchschnitt der quadrierten Abweichungen zu bekommen. Das ergibt: 5800 / 5 = 1160.

Bäm! Die Varianz ist 1160. Das bedeutet, dass die durchschnittliche quadrierte Abweichung vom Mittelwert 1160 ist. Stell dir vor, jede quadrierte Abweichung wäre ein kleines Häuschen. Die Varianz wäre dann die durchschnittliche Größe dieser Häuschen. Je größer die Häuschen, desto weiter liegen die Gummibärchen-Tipps auseinander.

Was bedeutet das jetzt für den Jahrmarkt?

Eine hohe Varianz (wie unsere 1160) bedeutet, dass die Tipps sehr unterschiedlich waren. Manche lagen weit über dem Durchschnitt, andere weit darunter. Wäre die Varianz niedrig (z.B. 10), hätten alle fast das Gleiche getippt. Eine Varianz von 0 würde bedeuten, dass alle exakt den gleichen Tipp abgegeben haben (was natürlich extrem unwahrscheinlich ist!).

Wichtig: Die Varianz ist in quadrierten Einheiten (Gummibärchen zum Quadrat!), was manchmal etwas unhandlich ist. Deshalb gibt es noch die Standardabweichung, die einfach die Wurzel aus der Varianz ist. Aber das ist eine Geschichte für einen anderen Jahrmarkt!

Also, das nächste Mal, wenn du auf einem Jahrmarkt bist und Gummibärchen schätzen sollst, denk an die Varianz! Sie hilft dir (oder zumindest deinen Freunden), die Streuung der Schätzungen zu verstehen. Und vielleicht gewinnst du ja sogar das riesige Plüsch-Einhorn. Viel Glück!