Functions And Inverse Functions
Funktionen! Ein Wort, das bei manchen Schnappatmung auslöst. Bei mir? Naja, es ist kompliziert. Sagen wir mal so: Ich habe eine Hassliebe. Oder vielleicht einfach nur eine sehr starke Antipathie, die ich versuche, zu rationalisieren.
Denn, mal ehrlich, wer hat sich noch nie gefragt: "Wozu brauche ich das eigentlich?" Ich meine, im Alltag. Außer vielleicht, um bei "Wer wird Millionär?" anzugeben. Aber selbst da...zweifelhaft.
Wir reden hier ja nicht von Funktionen im Sinne von "gut funktionieren". Mein Toaster zum Beispiel, der sollte funktionieren. Aber er ist keine mathematische Funktion, auch wenn er input (Brot) in output (Toast) verwandelt. Theoretisch zumindest. Manchmal spuckt er einfach nur verbrannte Kohle aus. Völlig unberechenbar. Eben keine Funktion im mathematischen Sinne.
Also, was sind diese Dinger überhaupt? Stell dir eine Maschine vor. Du wirfst was rein (Input), und die Maschine spuckt was anderes raus (Output). Eine Funktion ist quasi diese Maschine. Nur ohne quietschende Zahnräder und potenziellen Stromschlag.
Die magische Maschine: Funktionen
Nehmen wir eine simple Funktion: f(x) = x + 2. Wirft man eine 3 rein, kommt eine 5 raus. Easy peasy. Wirft man eine Banane rein? Naja, da streikt wahrscheinlich auch die mathematische Maschine. Muss man definieren, was mit Bananen passiert. Wird kompliziert. Lassen wir das.
Man kann Funktionen auch als Beziehung sehen. Eine Beziehung zwischen dem, was reinkommt, und dem, was rauskommt. Eine etwas einseitige Beziehung vielleicht. Aber Beziehungen sind kompliziert. Das gilt für mathematische Funktionen genauso wie für...naja, Beziehungen.
Ich behaupte ja, Funktionen sind wie Kochen. Man hat Zutaten (Input), ein Rezept (die Funktion) und ein Gericht (Output). Aber manchmal verbrennt man es. Oder es schmeckt einfach scheußlich. Dann hat man zwar eine Funktion angewendet, aber das Ergebnis ist...weniger optimal.
Inverse Funktionen: Der Rückwärtsgang
Jetzt wird's "lustig". Was passiert, wenn wir die Maschine rückwärts laufen lassen wollen? Also, wir werfen das Ergebnis rein und wollen wissen, was ursprünglich reingekommen ist? Das ist die inverse Funktion. Stell dir vor, du hast einen Kuchen. Und du willst herausfinden, welche Zutaten drin waren, nachdem du ihn schon aufgegessen hast. Viel Spaß dabei!
Nicht jede Funktion hat eine inverse Funktion. Manche Maschinen sind einfach Einbahnstraßen. Da kommst du nicht mehr zurück. Das ist wie bei manchen Entscheidungen im Leben. Da gibt's auch keinen Rückwärtsgang. (Außer vielleicht bei "Wer wird Millionär?" mit dem Joker. Aber das ist wieder ein anderes Thema.)
Die inverse Funktion zu f(x) = x + 2 wäre übrigens f-1(x) = x - 2. Einfach die Operation umkehren. Kinderspiel. Solange es nicht zu kompliziert wird. Sobald Potenzen, Wurzeln oder gar Trigonometrie ins Spiel kommen, wird's...äh...interessant. Sagen wir es mal so: Ich kenne Leute, die haben deswegen ihre Mathe-Studium abgebrochen.
Ich persönlich finde ja, inverse Funktionen sind wie Déjà-vus. Man hat das Gefühl, schon mal da gewesen zu sein. Nur dass man diesmal weiß, wie man hingekommen ist. Oder so ähnlich.
Manchmal sind inverse Funktionen aber auch nützlich. Zum Beispiel beim Entschlüsseln von Codes. Oder beim Lösen von Gleichungen. Oder... okay, vielleicht doch öfter als ich zugeben möchte.
Aber trotzdem bleibe ich dabei: Funktionen sind etwas...überbewertet. Vor allem die komplizierten. Wer braucht schon eine Funktion, um zu berechnen, wie viele Pizza-Stücke man pro Person bestellen muss? Da reicht doch gesunder Menschenverstand. Und vielleicht ein bisschen Erfahrung im Pizza-Bestellen.
Mein (Un)Beliebter Standpunkt
Hier kommt's: Ich glaube, wir verbringen zu viel Zeit damit, Funktionen zu lernen und zu wenig Zeit damit, zu lernen, wie man Probleme wirklich löst. Mit Kreativität, Intuition und gesundem Menschenverstand. Anstatt alles in eine komplizierte Formel zu pressen.
Klar, Funktionen sind ein wichtiges Werkzeug. Aber sie sind nicht das einzige Werkzeug im Werkzeugkasten. Und manchmal ist der Hammer einfach besser geeignet. (Oder die Pizza-Schere.)
Also, liebe Leser, seid gewarnt: Funktionen können süchtig machen. Sie können dein Gehirn vernebeln. Sie können dich glauben lassen, dass jedes Problem eine mathematische Lösung hat. Aber das stimmt nicht. Manchmal braucht man einfach nur...einen guten Freund. Und eine große Pizza.
Vergesst das nicht, wenn ihr das nächste Mal über einer inversen trigonometrischen Funktion brütet. Es gibt noch mehr im Leben als Mathematik. Auch wenn das einige Mathematiker nicht gerne hören werden.
