Funktion 3. Grades Bestimmen Mit 3 Punkten

Stell dir vor, du stehst in einem kleinen Café in Wien, der Duft von frisch gebackenen Sachertorten umweht dich, und du überlegst, welchen Hügel du als nächstes erklimmen sollst, um die beste Aussicht über die Stadt zu genießen. Klingt gut, oder? Aber was, wenn ich dir sage, dass hinter diesem vermeintlich einfachen Urlaubsgefühl eine komplexe mathematische Aufgabe steckt – nämlich die Bestimmung einer Funktion dritten Grades? Keine Sorge, ich werde dich nicht mit trockener Theorie langweilen. Stell es dir eher wie eine Schatzsuche vor, bei der die Funktion die Karte ist, die uns zu unserem perfekten Aussichtspunkt führt.

Das Rätsel der kubischen Funktion

Eine Funktion dritten Grades, oder auch kubische Funktion genannt, hat die allgemeine Form: f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Ziel ist es, die Werte für a, b, c und d herauszufinden. Und hier kommen unsere drei Punkte ins Spiel. Jeder dieser Punkte repräsentiert einen Ort auf unserer Karte, und durch die Verbindung dieser Orte können wir die Form der Landschaft, also die Funktion, rekonstruieren.

Warum gerade drei Punkte?

Gute Frage! Um eine lineare Funktion (eine Gerade) zu bestimmen, reichen zwei Punkte. Für eine quadratische Funktion (eine Parabel) benötigen wir drei Punkte. Und für eine kubische Funktion – Überraschung! – vier Punkte. Aber Moment mal, der Titel verspricht ja die Bestimmung mit *drei* Punkten. Das ist kein Fehler! Wir werden einen kleinen Trick anwenden, der oft in der Praxis vorkommt: Wir nehmen an, dass wir zusätzlich zu den drei Punkten noch einen weiteren Hinweis haben, zum Beispiel den Wert der Funktion an der Stelle x=0 (also den y-Achsenabschnitt, der direkt *d* liefert).

Schritt 1: Sammle deine Koordinaten

Okay, stell dir vor, du hast folgende drei Orte besucht und ihre Koordinaten in deinem Reisetagebuch notiert:

• Punkt A: (1, 6) – Du hast im ersten Bezirk ein köstliches Mittagessen genossen.
• Punkt B: (2, 15) – Ein atemberaubender Blick vom Prater Riesenrad.
• Punkt C: (3, 40) – Ein Spaziergang durch den Wienerwald, der dich mit frischer Luft belohnt hat.

Und zusätzlich wissen wir, dass die Funktion die y-Achse bei y = 1 schneidet. Das bedeutet, wenn x = 0, dann ist f(x) = 1. Also d = 1.

Schritt 2: Das Gleichungssystem – Die Schatzkarte entziffern

Jeder dieser Punkte gibt uns eine Gleichung. Wir setzen einfach die x- und y-Werte in die allgemeine Form der kubischen Funktion ein. Da wir *d* bereits kennen, haben wir folgendes Gleichungssystem:

• Für Punkt A (1, 6): a(1)³ + b(1)² + c(1) + 1 = 6 => a + b + c = 5
• Für Punkt B (2, 15): a(2)³ + b(2)² + c(2) + 1 = 15 => 8a + 4b + 2c = 14
• Für Punkt C (3, 40): a(3)³ + b(3)² + c(3) + 1 = 40 => 27a + 9b + 3c = 39

Jetzt haben wir ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten (a, b, und c). Keine Panik! Es gibt verschiedene Methoden, um so etwas zu lösen. Ich persönlich mag das Additionsverfahren.

Schritt 3: Das Additionsverfahren – Den Schlüssel finden

Das Additionsverfahren funktioniert so: Wir multiplizieren die Gleichungen so, dass beim Addieren der Gleichungen eine Variable wegfällt.

1. Elimination von c: Multipliziere die erste Gleichung mit -2 und addiere sie zur zweiten Gleichung:
   • -2a - 2b - 2c = -10
   • 8a + 4b + 2c = 14
   • Ergebnis: 6a + 2b = 4
2. Elimination von c (erneut): Multipliziere die erste Gleichung mit -3 und addiere sie zur dritten Gleichung:
   • -3a - 3b - 3c = -15
   • 27a + 9b + 3c = 39
   • Ergebnis: 24a + 6b = 24

Jetzt haben wir ein vereinfachtes Gleichungssystem mit nur noch zwei Variablen:

• 6a + 2b = 4
• 24a + 6b = 24

1. Elimination von b: Multipliziere die erste Gleichung mit -3 und addiere sie zur zweiten Gleichung:
   • -18a - 6b = -12
   • 24a + 6b = 24
   • Ergebnis: 6a = 12 => a = 2

Super! Wir haben a gefunden! Jetzt können wir a in eine der vereinfachten Gleichungen einsetzen, um b zu finden. Nehmen wir 6a + 2b = 4:

6(2) + 2b = 4 => 12 + 2b = 4 => 2b = -8 => b = -4

Und jetzt setzen wir a und b in die erste ursprüngliche Gleichung ein, um c zu finden:

a + b + c = 5 => 2 - 4 + c = 5 => c = 7

Schritt 4: Das Ergebnis – Dein persönlicher Aussichtspunkt

Tada! Wir haben alle Variablen gefunden! Die kubische Funktion, die durch unsere drei Punkte verläuft (und den y-Achsenabschnitt 1 hat), lautet:

f(x) = 2x³ - 4x² + 7x + 1

Diese Funktion ist wie eine personalisierte Route, die dich zu einem ganz bestimmten Aussichtspunkt führt, der auf deinen individuellen Erfahrungen und Entdeckungen basiert. Denk daran, als du im Café saßest und überlegt hast, welchen Hügel du erklimmen sollst? Diese Funktion könnte dir dabei helfen, den *perfekten* Hügel zu finden – zumindest mathematisch gesehen!

Und was jetzt?

Natürlich ist das nur ein vereinfachtes Beispiel. In der Realität sind Funktionen dritten Grades viel komplexer und können für alles Mögliche verwendet werden – von der Vorhersage von Aktienkursen bis zur Modellierung von Bevölkerungsentwicklungen. Aber die grundlegende Idee ist immer die gleiche: Wir suchen nach Mustern und Verbindungen, um die Welt um uns herum besser zu verstehen.

Wenn du das nächste Mal auf Reisen bist und dich fragst, wie du deine Erlebnisse und Entdeckungen am besten festhalten kannst, denk an die kubische Funktion. Sie ist wie eine mathematische Metapher für das Leben selbst – eine Reise, die durch unzählige Punkte und Erfahrungen geformt wird, die uns letztendlich zu unserem ganz persönlichen Aussichtspunkt führen.

Also, pack deine Koffer, schnapp dir dein Reisetagebuch und vergiss nicht: Die Welt ist voll von mathematischen Schätzen, die darauf warten, entdeckt zu werden! Und wer weiß, vielleicht findest du ja auf deiner nächsten Reise eine weitere kubische Funktion, die du entschlüsseln kannst… Viel Spaß beim Entdecken!