Funktionsgleichung Aus 2 Punkten Bestimmen

Gerade Linien sind in vielen Bereichen der Mathematik und im Alltag von Bedeutung. Sie lassen sich durch eine Funktionsgleichung beschreiben, die es ermöglicht, jeden Punkt auf der Geraden eindeutig zu bestimmen. Oftmals sind jedoch nur zwei Punkte der Geraden bekannt. Dieser Artikel erklärt, wie Sie aus zwei gegebenen Punkten die Funktionsgleichung einer linearen Funktion (also einer Geraden) ermitteln können.

Grundlagen der linearen Funktion

Eine lineare Funktion hat die allgemeine Form:

f(x) = mx + b

Dabei gilt:

• f(x): Der Funktionswert an der Stelle x (auch y-Wert genannt)
• x: Der Wert auf der x-Achse
• m: Die Steigung der Geraden
• b: Der y-Achsenabschnitt (der Wert, an dem die Gerade die y-Achse schneidet)

Unser Ziel ist es, die Werte für m und b zu finden, um die Funktionsgleichung vollständig zu definieren.

Die Steigung (m) berechnen

Die Steigung m gibt an, wie stark die Gerade ansteigt oder abfällt. Wenn die Gerade von links nach rechts ansteigt, ist m positiv; wenn sie abfällt, ist m negativ. Die Steigung lässt sich mithilfe von zwei Punkten (x1, y1) und (x2, y2) berechnen. Die Formel lautet:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Wichtig: Achten Sie darauf, dass Sie die Koordinaten korrekt zuordnen. Es ist entscheidend, dass Sie y2 vom y1-Wert subtrahieren und x2 vom x1-Wert subtrahieren. Die Reihenfolge muss beibehalten werden.

Beispiel zur Berechnung der Steigung

Gegeben seien die Punkte A(1, 3) und B(4, 9). Wir berechnen die Steigung wie folgt:

x1 = 1, y1 = 3

x2 = 4, y2 = 9

Also:

m = (9 - 3) / (4 - 1) = 6 / 3 = 2

Die Steigung der Geraden beträgt somit 2.

Den y-Achsenabschnitt (b) berechnen

Nachdem wir die Steigung m berechnet haben, benötigen wir noch den y-Achsenabschnitt b. Diesen können wir ermitteln, indem wir die berechnete Steigung m und die Koordinaten eines der beiden gegebenen Punkte (entweder A oder B) in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen und nach b auflösen.

Wir verwenden die Gleichung:

f(x) = mx + b

und formen sie um, um b zu isolieren:

b = f(x) - mx

Nun setzen wir die Koordinaten eines der Punkte (z.B. A(1, 3)) und die berechnete Steigung (m = 2) ein:

b = 3 - (2 * 1) = 3 - 2 = 1

Der y-Achsenabschnitt b beträgt also 1.

Beispiel mit dem anderen Punkt

Zur Überprüfung können wir auch den anderen Punkt (B(4, 9)) verwenden:

b = 9 - (2 * 4) = 9 - 8 = 1

Auch hier erhalten wir b = 1, was unsere Berechnung bestätigt.

Die vollständige Funktionsgleichung aufstellen

Nachdem wir sowohl die Steigung m als auch den y-Achsenabschnitt b berechnet haben, können wir die vollständige Funktionsgleichung aufstellen. Wir setzen die Werte in die allgemeine Formel ein:

f(x) = mx + b

In unserem Beispiel ist m = 2 und b = 1. Daher lautet die Funktionsgleichung:

f(x) = 2x + 1

Diese Gleichung beschreibt die Gerade, die durch die Punkte A(1, 3) und B(4, 9) verläuft.

Zusammenfassung der Schritte

Hier ist eine kurze Zusammenfassung der Schritte zur Bestimmung der Funktionsgleichung aus zwei Punkten:

1. Berechne die Steigung (m): Verwende die Formel m = (y2 - y1) / (x2 - x1).
2. Berechne den y-Achsenabschnitt (b): Verwende die Formel b = f(x) - mx, wobei du die Koordinaten eines der gegebenen Punkte und die berechnete Steigung einsetzt.
3. Stelle die Funktionsgleichung auf: Setze die Werte für m und b in die allgemeine Formel f(x) = mx + b ein.

Sonderfälle

Es gibt einige Sonderfälle, die bei der Bestimmung der Funktionsgleichung aus zwei Punkten auftreten können:

Waagerechte Gerade

Wenn die y-Werte der beiden Punkte gleich sind (y1 = y2), dann ist die Steigung m = 0. Die Funktionsgleichung lautet dann:

f(x) = b

Dabei ist b der gemeinsame y-Wert der beiden Punkte. Die Gerade verläuft waagerecht und parallel zur x-Achse.

Senkrechte Gerade

Wenn die x-Werte der beiden Punkte gleich sind (x1 = x2), dann ist die Steigung m undefiniert, da die Division durch Null erfolgt (x2 - x1 = 0). In diesem Fall handelt es sich *nicht* um eine Funktion im eigentlichen Sinne. Die Gleichung der Geraden lautet:

x = a

Dabei ist a der gemeinsame x-Wert der beiden Punkte. Die Gerade verläuft senkrecht und parallel zur y-Achse. Beachten Sie, dass eine senkrechte Gerade keine Funktionsgleichung im Format f(x) = mx + b hat, da jedem x-Wert unendlich viele y-Werte zugeordnet wären. Sie ist also keine Funktion im mathematischen Sinn.

Parallele Geraden

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung (m) haben. Wenn Sie also bereits die Funktionsgleichung einer Geraden kennen und eine parallele Gerade durch einen bestimmten Punkt finden sollen, verwenden Sie die gleiche Steigung und berechnen Sie den y-Achsenabschnitt (b) mit dem gegebenen Punkt.

Senkrechte Geraden (Orthogonalität)

Zwei Geraden sind senkrecht zueinander (orthogonal), wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 beträgt. Wenn die Steigung der ersten Geraden m1 ist und die Steigung der zweiten Geraden m2, dann gilt:

m1 * m2 = -1

Daraus folgt:

m2 = -1 / m1

Wenn Sie also die Funktionsgleichung einer Geraden kennen und eine senkrechte Gerade durch einen bestimmten Punkt finden sollen, berechnen Sie die negative inverse Steigung und berechnen Sie den y-Achsenabschnitt (b) mit dem gegebenen Punkt.

Fazit

Die Bestimmung der Funktionsgleichung einer Geraden aus zwei Punkten ist ein grundlegendes Konzept in der Mathematik. Mit den hier vorgestellten Schritten und Formeln können Sie die Steigung und den y-Achsenabschnitt berechnen und somit die vollständige Funktionsgleichung aufstellen. Vergessen Sie nicht, die Sonderfälle wie waagerechte und senkrechte Geraden zu berücksichtigen. Mit etwas Übung wird Ihnen diese Aufgabe leicht von der Hand gehen.