Gleichungen Lösen Mit 2 Variablen

Viele Situationen im Alltag oder in wissenschaftlichen Berechnungen lassen sich durch Gleichungen mit zwei Unbekannten (Variablen) beschreiben. Das Lösen solcher Gleichungssysteme ermöglicht es, die Werte dieser Unbekannten zu ermitteln. Dieser Artikel erklärt die grundlegenden Methoden zum Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen.

Was ist eine Gleichung mit zwei Variablen?

Eine Gleichung mit zwei Variablen ist eine mathematische Aussage, die zwei unbekannte Werte, meistens mit x und y bezeichnet, in einer Beziehung zueinander setzt. Ein einfaches Beispiel ist: 2x + y = 5. Im Gegensatz zu Gleichungen mit nur einer Variablen, hat eine einzelne Gleichung mit zwei Variablen unendlich viele Lösungen. Jedes Wertepaar (x, y), das die Gleichung erfüllt, ist eine Lösung.

Um eine eindeutige Lösung für x und y zu finden, benötigt man in der Regel ein Gleichungssystem. Ein Gleichungssystem besteht aus mindestens zwei Gleichungen mit denselben Variablen.

Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen

Es gibt verschiedene Methoden, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Die drei gängigsten sind:

1. Das Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren ist besonders nützlich, wenn eine der Variablen in einer der Gleichungen isoliert, also freigestellt ist. Die Schritte sind:

Eine der Gleichungen nach einer Variablen auflösen: Wähle die Gleichung und die Variable, die sich am einfachsten isolieren lässt. Zum Beispiel, wenn du die Gleichung x + 2y = 7 und 3x - y = 0 hast, ist es am einfachsten, die zweite Gleichung nach y aufzulösen: y = 3x.
Die gefundene Variable in die andere Gleichung einsetzen: Ersetze die freigestellte Variable in der anderen Gleichung durch den Ausdruck, den du gerade gefunden hast. Im obigen Beispiel setzt du y = 3x in die erste Gleichung ein: x + 2(3x) = 7.
Die resultierende Gleichung mit einer Variablen lösen: Die neue Gleichung enthält nur noch eine Variable (in diesem Fall x). Löse diese Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf. x + 6x = 7 => 7x = 7 => x = 1.
Den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen, um die andere Variable zu finden: Setze den Wert von x (x = 1) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um den Wert von y zu berechnen. Verwende zum Beispiel y = 3x => y = 3(1) => y = 3.
Die Lösung überprüfen: Setze die gefundenen Werte von x und y in beide ursprünglichen Gleichungen ein, um sicherzustellen, dass sie beide erfüllt sind.

Beispiel: Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren:

x + y = 5
2x - y = 1

Lösung:

Auflösen der ersten Gleichung nach y: y = 5 - x
Einsetzen in die zweite Gleichung: 2x - (5 - x) = 1
Vereinfachen und Lösen: 2x - 5 + x = 1 => 3x = 6 => x = 2
Einsetzen von x = 2 in y = 5 - x: y = 5 - 2 => y = 3
Überprüfen: 2 + 3 = 5 (korrekt) und 2(2) - 3 = 1 (korrekt)

Die Lösung ist also x = 2 und y = 3.

2. Das Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren eignet sich besonders gut, wenn beide Gleichungen bereits nach derselben Variable aufgelöst sind, oder wenn es einfach ist, beide Gleichungen nach derselben Variable aufzulösen. Die Schritte sind:

Beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen: Löse beide Gleichungen nach derselben Variable auf. Zum Beispiel, wenn du y = 2x + 1 und y = -x + 4 hast, sind beide Gleichungen bereits nach y aufgelöst.
Die beiden Ausdrücke gleichsetzen: Da beide Ausdrücke gleich derselben Variablen sind, können sie gleichgesetzt werden. Im Beispiel: 2x + 1 = -x + 4.
Die resultierende Gleichung mit einer Variablen lösen: Löse die neue Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf. 2x + 1 = -x + 4 => 3x = 3 => x = 1.
Den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen, um die andere Variable zu finden: Setze den Wert von x (x = 1) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um den Wert von y zu berechnen. Verwende zum Beispiel y = 2x + 1 => y = 2(1) + 1 => y = 3.
Die Lösung überprüfen: Setze die gefundenen Werte von x und y in beide ursprünglichen Gleichungen ein, um sicherzustellen, dass sie beide erfüllt sind.

Beispiel: Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren:

y = 3x - 2
y = -x + 6

Lösung:

Beide Gleichungen sind bereits nach y aufgelöst.
Gleichsetzen: 3x - 2 = -x + 6
Vereinfachen und Lösen: 4x = 8 => x = 2
Einsetzen von x = 2 in y = 3x - 2: y = 3(2) - 2 => y = 4
Überprüfen: 4 = 3(2) - 2 (korrekt) und 4 = -2 + 6 (korrekt)

Die Lösung ist also x = 2 und y = 4.

3. Das Additions-/Subtraktionsverfahren (Eliminationsverfahren)

Das Additions-/Subtraktionsverfahren (auch Eliminationsverfahren genannt) ist besonders dann geeignet, wenn die Koeffizienten (Zahlen vor den Variablen) von einer der Variablen in beiden Gleichungen gleich oder entgegengesetzt sind. Die Schritte sind:

Die Gleichungen so multiplizieren, dass die Koeffizienten einer der Variablen gleich oder entgegengesetzt sind: Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, so dass entweder die Koeffizienten von x oder die Koeffizienten von y gleich oder entgegengesetzt sind. Zum Beispiel, wenn du 2x + 3y = 8 und x - y = 1 hast, kannst du die zweite Gleichung mit 2 multiplizieren, um die Koeffizienten von x anzugleichen: 2(x - y) = 2(1) => 2x - 2y = 2.
Die Gleichungen addieren oder subtrahieren, um eine Variable zu eliminieren: Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen, so dass eine der Variablen verschwindet. Im Beispiel: (2x + 3y) - (2x - 2y) = 8 - 2 => 5y = 6. Wenn die Koeffizienten entgegengesetzt sind (z.B. +2x und -2x) dann addiert man die Gleichungen. Wenn die Koeffizienten gleich sind (z.B. +2x und +2x) dann subtrahiert man die Gleichungen.
Die resultierende Gleichung mit einer Variablen lösen: Löse die neue Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf. 5y = 6 => y = 6/5.
Den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen, um die andere Variable zu finden: Setze den Wert von y (y = 6/5) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um den Wert von x zu berechnen. Verwende zum Beispiel x - y = 1 => x - 6/5 = 1 => x = 11/5.
Die Lösung überprüfen: Setze die gefundenen Werte von x und y in beide ursprünglichen Gleichungen ein, um sicherzustellen, dass sie beide erfüllt sind.

Beispiel: Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Additions-/Subtraktionsverfahren:

3x + 2y = 7
x - 2y = -1

Lösung:

Die Koeffizienten von y sind bereits entgegengesetzt (+2 und -2).
Addieren der Gleichungen: (3x + 2y) + (x - 2y) = 7 + (-1) => 4x = 6
Vereinfachen und Lösen: 4x = 6 => x = 3/2
Einsetzen von x = 3/2 in x - 2y = -1: 3/2 - 2y = -1 => -2y = -5/2 => y = 5/4
Überprüfen: 3(3/2) + 2(5/4) = 9/2 + 5/2 = 14/2 = 7 (korrekt) und 3/2 - 2(5/4) = 3/2 - 5/2 = -2/2 = -1 (korrekt)

Die Lösung ist also x = 3/2 und y = 5/4.

Sonderfälle

Es gibt Situationen, in denen Gleichungssysteme entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben können.

Keine Lösung: Wenn die Gleichungen widersprüchlich sind (z.B. x + y = 2 und x + y = 5), gibt es keine Lösung, die beide Gleichungen erfüllt. Graphisch gesehen sind die Geraden parallel und schneiden sich nicht.
Unendlich viele Lösungen: Wenn die Gleichungen linear abhängig sind (z.B. x + y = 2 und 2x + 2y = 4, wobei die zweite Gleichung ein Vielfaches der ersten ist), repräsentieren sie im Grunde dieselbe Gerade. Jedes Wertepaar (x, y), das eine der Gleichungen erfüllt, ist auch eine Lösung für die andere. Es gibt dann unendlich viele Lösungen.

Zusammenfassung

Das Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen ist ein wichtiger Bestandteil der Algebra. Die drei vorgestellten Methoden – Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren und Additions-/Subtraktionsverfahren – bieten verschiedene Ansätze, um die Werte der Variablen zu ermitteln. Die Wahl der Methode hängt oft von der Struktur des Gleichungssystems ab. Wichtig ist, die Lösung immer zu überprüfen, um Rechenfehler auszuschließen.