How Is Variance Calculated

Hach, die Varianz! Klingt wie ein Zauberwort aus einem verstaubten Mathebuch, nicht wahr? Aber keine Sorge, wir entzaubern das Ganze heute mal so richtig und machen daraus ein fröhliches Rechenspiel. Versprochen!

Was brauchen wir für unser Rechenabenteuer?

Stell dir vor, du bist ein Profi-Dartspieler (oder zumindest jemand, der so tut). Anstatt Pfeile auf eine Scheibe zu werfen, werfen wir aber mit Zahlen. Und diese Zahlen, die sind unsere Daten!

Beispiel: Nehmen wir an, du hast in fünf Dart-Übungsrunden folgende Punktzahlen erreicht: 5, 7, 9, 11, und 13. Tadaaa! Das sind unsere Rohdaten, sozusagen das ungeschliffene Gold, aus dem wir jetzt etwas Tolles machen werden.

Schritt 1: Der Durchschnitt, unser Kompass!

Als erstes brauchen wir den Durchschnitt, den Mittelwert, den "Was-wäre-wenn-ich-immer-gleich-gut-wäre"-Wert. Klingt kompliziert, ist aber kinderleicht! Wir addieren einfach alle unsere Zahlen zusammen und teilen das Ergebnis durch die Anzahl der Zahlen, die wir hatten.

In unserem Fall: (5 + 7 + 9 + 11 + 13) / 5 = 45 / 5 = 9. Jippie! Unser Durchschnitt ist 9. Stell dir vor, das ist die goldene Mitte unserer Dartscheibe. Wir wollen wissen, wie weit unsere Würfe im Durchschnitt davon abweichen.

Schritt 2: Die Abweichung, unser kleiner Rebell!

Jetzt kommt der spaßige Teil: Wir finden heraus, wie weit jede einzelne Zahl von unserem Durchschnitt abweicht. Das ist wie beim Dart: War der Wurf nah dran an der Mitte, oder eher ein Ausreißer Richtung Kneipe?

Wir ziehen also von jeder unserer ursprünglichen Zahlen den Durchschnitt ab:

5 - 9 = -4
7 - 9 = -2
9 - 9 = 0
11 - 9 = 2
13 - 9 = 4

Diese Zahlen sind unsere Abweichungen. Manche sind negativ (wir haben unter dem Durchschnitt geworfen), manche positiv (wir waren besser als der Durchschnitt). Aber Achtung: Wenn wir diese Abweichungen einfach so addieren würden, käme immer null raus (weil sich die positiven und negativen Werte gegenseitig aufheben würden). Und das wäre ja langweilig!

Schritt 3: Quadrate, die kleinen Friedensstifter!

Hier kommt der Clou: Um die negativen Zahlen loszuwerden (diese kleinen Unruhestifter!), quadrieren wir jede einzelne Abweichung. Das bedeutet, wir multiplizieren jede Zahl mit sich selbst. Und plötzlich sind alle lieb und positiv!

(-4) * (-4) = 16
(-2) * (-2) = 4
0 * 0 = 0
2 * 2 = 4
4 * 4 = 16

Super! Jetzt haben wir lauter positive Zahlen, die uns zeigen, wie stark jede einzelne Zahl vom Durchschnitt abweicht – ohne dass sich positive und negative Werte gegenseitig aufheben.

Schritt 4: Die Summe der Quadrate, unser Schatz!

Jetzt addieren wir all diese Quadrate zusammen. Das ist wie das Zählen der Punkte nach einer besonders gelungenen Dartrunde:

16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40

Diese 40 ist die Summe der quadrierten Abweichungen. Ein großer, wichtiger Schritt!

Schritt 5: Teilen und Herrschen – fast geschafft!

Fast am Ziel! Um die Varianz zu berechnen, teilen wir die Summe der quadrierten Abweichungen durch die Anzahl der Zahlen (minus 1! Ja, warum auch immer, das ist einfach so. Nennen wir es einen kleinen statistischen Insider-Witz). Das Minus 1 nennt man auch Bessel-Korrektur, aber das ist für heute zu viel des Guten. Konzentrieren wir uns aufs Dartspielen!

Also: 40 / (5 - 1) = 40 / 4 = 10

Das Ergebnis: Tadaaa, die Varianz!

Und voilà! Die Varianz unserer Dart-Punktzahlen beträgt 10. Was bedeutet das jetzt genau? Im Grunde sagt uns die Varianz, wie stark die Zahlen streuen, wie weit sie vom Durchschnitt entfernt liegen. Eine hohe Varianz bedeutet, dass die Zahlen sehr unterschiedlich sind (du wirfst mal super, mal total daneben), eine niedrige Varianz bedeutet, dass die Zahlen ziemlich nah beieinander liegen (du bist ein sehr konstanter Dartspieler).

Wichtig: Die Varianz ist eine quadrierte Größe. Das heißt, die Einheit ist auch quadriert. In unserem Beispiel wären das "Quadratpunkte". Klingt komisch, ist aber so. Um das wieder in eine verständlichere Einheit zu bringen, zieht man oft die Quadratwurzel aus der Varianz. Das Ergebnis nennt man dann Standardabweichung. Aber das ist eine Geschichte für ein anderes Mal!

Also, los geht's, werft mit Zahlen um euch und berechnet eure Varianz! Und keine Sorge, wenn es nicht beim ersten Mal klappt. Übung macht den Meister – auch beim Varianz-Berechnen!