Kürzen Und Erweitern Von Brüchen

Willkommen in der faszinierenden Welt der Brüche – auf Deutsch! Vielleicht bist du gerade in Deutschland, Österreich oder der Schweiz unterwegs oder planst einen Aufenthalt und stolperst über Rezepte, Anleitungen oder sogar Preisangaben, die mit Brüchen arbeiten. Keine Panik! Das Kürzen und Erweitern von Brüchen ist eigentlich ganz einfach und hilft dir, den Alltag hier noch besser zu meistern. Dieser Guide macht dich fit für alles, was mit Brüchen zu tun hat.

Was sind überhaupt Brüche?

Bevor wir uns ins Kürzen und Erweitern stürzen, klären wir kurz, was ein Bruch eigentlich ist. Stell dir eine Pizza vor: Ein Bruch beschreibt einen Teil dieser Pizza. Ein Bruch besteht aus zwei Zahlen, die durch einen waagerechten Strich getrennt sind:

Zähler (oben): Gibt an, wie viele Teile du hast.
Nenner (unten): Gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze (z.B. die Pizza) geteilt wurde.

Beispiel: ¹/₄ (lies: "ein Viertel") bedeutet, dass die Pizza in 4 gleich große Stücke geteilt wurde und du 1 davon hast.

Warum muss man Brüche kürzen und erweitern?

Gute Frage! Brüche zu kürzen oder zu erweitern ist nützlich, um sie zu vereinfachen, zu vergleichen oder um sie in Rechenoperationen mit anderen Brüchen durchführen zu können. Stell dir vor, du willst zwei Rezepte kombinieren, die unterschiedliche Mengenangaben mit Brüchen haben. Dann musst du diese Brüche unter Umständen erweitern, um sie vergleichbar zu machen.

Brüche kürzen: Vereinfachen leicht gemacht

Das Kürzen eines Bruchs bedeutet, Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl zu teilen. Dadurch ändert sich der Wert des Bruchs nicht, er wird lediglich einfacher dargestellt. Das Ziel ist es, den Bruch so weit wie möglich zu vereinfachen, bis Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr haben (außer 1). Man spricht dann von einem ungekürzten oder vollständig gekürzten Bruch.

Wie geht das Kürzen?

Finde einen gemeinsamen Teiler: Suche eine Zahl, durch die sich sowohl der Zähler als auch der Nenner teilen lassen. Beginne am besten mit kleinen Zahlen wie 2, 3, 5, etc.
Teile Zähler und Nenner: Teile beide Zahlen durch den gefundenen Teiler.
Wiederhole: Wiederhole die Schritte 1 und 2, bis du keinen gemeinsamen Teiler mehr findest.

Beispiel: Kürzen von ⁴/₈

Zähler: 4, Nenner: 8
Gemeinsamer Teiler: 2
Teile Zähler und Nenner durch 2: ^{4 ÷ 2}/_{8 ÷ 2} = ²/₄
Wiederhole: Gemeinsamer Teiler von 2 und 4 ist 2.
Teile Zähler und Nenner durch 2: ^{2 ÷ 2}/_{4 ÷ 2} = ¹/₂
Der Bruch ¹/₂ ist vollständig gekürzt, da 1 und 2 keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben.

Tipp: Wenn du einen größeren gemeinsamen Teiler findest (z.B. die größte Zahl, durch die sich beide teilen lassen – den sogenannten größten gemeinsamen Teiler, ggT), kannst du den Bruch in einem Schritt kürzen. Im obigen Beispiel wäre der ggT von 4 und 8 die Zahl 4. Teilen wir Zähler und Nenner direkt durch 4, erhalten wir: ^{4 ÷ 4}/_{8 ÷ 4} = ¹/₂.

Brüche erweitern: Mehr ist manchmal mehr

Das Erweitern eines Bruchs bedeutet, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren. Auch hier ändert sich der Wert des Bruchs nicht, aber die Zahlen werden größer. Das Erweitern ist oft notwendig, um Brüche mit ungleichen Nennern vergleichbar zu machen oder um sie addieren oder subtrahieren zu können.

Wie geht das Erweitern?

Finde den gewünschten Nenner: Überlege, welchen Nenner du erreichen möchtest. Dieser wird oft durch den Nenner eines anderen Bruchs vorgegeben, mit dem du rechnen möchtest.
Finde den Erweiterungsfaktor: Teile den gewünschten Nenner durch den aktuellen Nenner. Das Ergebnis ist der Erweiterungsfaktor.
Multipliziere Zähler und Nenner: Multipliziere sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dem Erweiterungsfaktor.

Beispiel: Erweitern von ¹/₃ auf den Nenner 6

Aktueller Nenner: 3, gewünschter Nenner: 6
Erweiterungsfaktor: 6 ÷ 3 = 2
Multipliziere Zähler und Nenner mit 2: ^{1 × 2}/_{3 × 2} = ²/₆
Der erweiterte Bruch ist ²/₆. Er hat den gleichen Wert wie ¹/₃, nur mit dem gewünschten Nenner 6.

Warum funktioniert das alles?

Sowohl beim Kürzen als auch beim Erweitern verändern wir eigentlich nur die Darstellung des Bruchs, nicht seinen Wert. Wenn wir Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilen (kürzen) oder mit der gleichen Zahl multiplizieren (erweitern), ist das im Grunde so, als würden wir den Bruch mit ¹/₁ multiplizieren (im Falle des Kürzens durch Division) oder erweitern (im Falle des Erweiterns mit Multiplikation). Und die Multiplikation mit 1 verändert den Wert ja bekanntlich nicht.

Brüche im Alltag: Beispiele für Reisende

Okay, genug Theorie! Wie hilft dir das Kürzen und Erweitern jetzt konkret während deines Aufenthalts?

Rezepte: Stell dir vor, du möchtest ein deutsches Kuchenrezept nachbacken, aber nur die Hälfte der Menge. Wenn das Rezept ³/₄ Tasse Mehl vorsieht, musst du diesen Bruch halbieren. Das geht am einfachsten, indem du den Nenner erweiterst: ³/₄ = ³/₈ * 2. Also brauchst du ³/₈ Tassen Mehl.
Einkaufen: Manchmal werden Angebote in Form von Brüchen dargestellt, z.B. "¹/₃ Rabatt auf alle Schuhe". Um zu verstehen, wie viel du sparst, kann es hilfreich sein, diesen Bruch in einen Prozentsatz umzuwandeln. (¹/₃ = ca. 33,3%).
Zeitangaben: "Viertel nach acht" bedeutet 8:15 Uhr (¹/₄ Stunde nach 8).
Verständnis von Mengenangaben: Eine "halbe Portion" im Restaurant bedeutet ¹/₂ der normalen Portion.

Übung macht den Meister

Wie bei allem im Leben gilt auch hier: Übung macht den Meister! Hier ein paar Übungsaufgaben zum Kürzen und Erweitern:

Kürzen:

⁶/₉
¹²/₁₆
¹⁵/₂₅

Erweitern (mit dem angegebenen Nenner):

²/₅ auf Nenner 10
¹/₄ auf Nenner 12
³/₈ auf Nenner 24

Die Lösungen findest du am Ende dieses Artikels.

Zusammenfassung

Das Kürzen und Erweitern von Brüchen ist eine nützliche Fähigkeit, die dir das Leben in einem deutschsprachigen Land erleichtern kann. Denke daran:

Kürzen: Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilen.
Erweitern: Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren.

Mit ein wenig Übung wirst du bald zum Bruch-Profi!

Viel Spaß beim Entdecken der deutschen Kultur und Sprache!

Lösungen zu den Übungsaufgaben:

Kürzen:

⁶/₉ = ²/₃

¹²/₁₆ = ³/₄

¹⁵/₂₅ = ³/₅

Erweitern:

²/₅ auf Nenner 10 = ⁴/₁₀

¹/₄ auf Nenner 12 = ³/₁₂

³/₈ auf Nenner 24 = ⁹/₂₄