Lineare Funktion Aus 2 Punkten

Herzlich Willkommen in Deutschland! Oder vielleicht planst du gerade deinen Aufenthalt? Egal, ob du geschäftlich oder privat hier bist, manchmal stolpert man über Situationen, in denen ein bisschen Mathekenntnisse ganz nützlich sein können – zum Beispiel, um Kosten zu kalkulieren, Entfernungen abzuschätzen oder einfach nur, um dein Verständnis für die Welt um dich herum zu vertiefen. Keine Sorge, wir reden hier nicht von komplizierten Formeln! In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du ganz einfach eine lineare Funktion anhand von zwei Punkten bestimmen kannst. Und keine Angst, das ist viel einfacher, als es klingt!

Was ist eine lineare Funktion überhaupt?

Stell dir eine gerade Linie in einem Koordinatensystem vor. Eine lineare Funktion ist nichts anderes als die mathematische Beschreibung dieser Linie. Sie beschreibt die Beziehung zwischen zwei Variablen, typischerweise x und y, wobei sich y immer in gleichbleibendem Verhältnis zu x ändert. Das bedeutet, wenn x um einen bestimmten Wert steigt, steigt oder fällt y auch um einen bestimmten Wert – und zwar immer um den gleichen Betrag pro x-Einheit.

Die allgemeine Form einer linearen Funktion sieht so aus:

y = mx + b

Dabei bedeuten:

• y: Der Wert auf der y-Achse (die senkrechte Achse im Koordinatensystem).
• x: Der Wert auf der x-Achse (die waagerechte Achse im Koordinatensystem).
• m: Die Steigung der Linie. Sie gibt an, wie steil die Linie verläuft. Eine positive Steigung bedeutet, dass die Linie nach oben geht, eine negative Steigung, dass sie nach unten geht.
• b: Der y-Achsenabschnitt. Das ist der Punkt, an dem die Linie die y-Achse schneidet. Anders ausgedrückt: Der Wert von y, wenn x gleich 0 ist.

Unser Ziel ist es also, die Werte für m und b zu finden, um die lineare Funktion eindeutig zu bestimmen.

Lineare Funktion aus zwei Punkten bestimmen: Schritt für Schritt

Nehmen wir an, du hast zwei Punkte gegeben: P1(x1, y1) und P2(x2, y2). Diese Punkte können alles Mögliche darstellen! Zum Beispiel:

• P1(0, 10) und P2(2, 20) könnten bedeuten: Nach 0 Stunden Fahrt sind noch 10 Liter Benzin im Tank, nach 2 Stunden Fahrt noch 20 Liter. (Achtung: Hier müsste man genauer hinschauen, da es mehr Benzin wird, aber es dient als Beispiel!)
• P1(1, 5) und P2(3, 15) könnten bedeuten: Ein Tag Aufenthalt kostet 5 Euro, drei Tage Aufenthalt kosten 15 Euro.

So, und nun zur Schritt-für-Schritt-Anleitung, wie du aus diesen Punkten die lineare Funktion bestimmst:

Schritt 1: Berechne die Steigung (m)

Die Steigung (m) gibt an, wie stark sich der y-Wert ändert, wenn sich der x-Wert um 1 erhöht. Du berechnest sie mit folgender Formel:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Setzen wir unsere Beispielpunkte ein:

Für P1(1, 5) und P2(3, 15):

m = (15 - 5) / (3 - 1) = 10 / 2 = 5

Das bedeutet, die Steigung ist 5. Für jeden Tag Aufenthalt steigen die Kosten um 5 Euro.

Schritt 2: Berechne den y-Achsenabschnitt (b)

Jetzt, wo wir die Steigung (m) kennen, können wir den y-Achsenabschnitt (b) berechnen. Dazu nehmen wir einen der beiden gegebenen Punkte (es ist egal, welchen) und setzen ihn zusammen mit dem berechneten Wert für m in die allgemeine Form der linearen Funktion ein: y = mx + b. Dann lösen wir die Gleichung nach b auf.

Nehmen wir Punkt P1(1, 5) und m = 5:

5 = 5 * 1 + b

5 = 5 + b

b = 0

Der y-Achsenabschnitt ist also 0. Das bedeutet, dass die Linie die y-Achse bei 0 schneidet. In unserem Kostenbeispiel würde das bedeuten, dass es keine Grundgebühr gibt.

Schritt 3: Stelle die lineare Funktion auf

Jetzt haben wir alles, was wir brauchen! Wir kennen die Steigung (m) und den y-Achsenabschnitt (b). Setzen wir diese Werte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein:

y = mx + b

In unserem Beispiel ist das:

y = 5x + 0 oder einfach y = 5x

Das ist die lineare Funktion, die durch die Punkte P1(1, 5) und P2(3, 15) verläuft. Du kannst jetzt jeden x-Wert (Anzahl der Tage) einsetzen, um den zugehörigen y-Wert (Kosten) zu berechnen.

Ein weiteres Beispiel:

Nehmen wir an, du bist in einem deutschen Zug unterwegs. Du beobachtest, dass der Zug nach 2 Stunden Fahrt 200 Kilometer zurückgelegt hat und nach 5 Stunden Fahrt 500 Kilometer. Wir wollen die lineare Funktion aufstellen, die die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Fahrzeit beschreibt.

Unsere Punkte sind: P1(2, 200) und P2(5, 500)

Schritt 1: Steigung berechnen

m = (500 - 200) / (5 - 2) = 300 / 3 = 100

Die Steigung ist 100. Das bedeutet, der Zug fährt 100 Kilometer pro Stunde.

Schritt 2: y-Achsenabschnitt berechnen

Nehmen wir Punkt P1(2, 200) und m = 100:

200 = 100 * 2 + b

200 = 200 + b

b = 0

Der y-Achsenabschnitt ist 0. In diesem Fall bedeutet das, dass der Zug zum Zeitpunkt 0 (Startzeitpunkt) auch bei Kilometer 0 war.

Schritt 3: Lineare Funktion aufstellen

y = 100x + 0 oder einfach y = 100x

Die lineare Funktion ist y = 100x. Nach 7 Stunden Fahrt (x = 7) hat der Zug also 700 Kilometer zurückgelegt (y = 100 * 7 = 700).

Wozu brauche ich das wirklich?

Auch wenn es vielleicht nicht sofort ersichtlich ist, gibt es viele Situationen, in denen du diese Kenntnisse in Deutschland (oder anderswo) nutzen kannst:

• Kostenkalkulation: Wenn du weißt, dass eine Taxifahrt pro Kilometer einen bestimmten Betrag kostet, kannst du mit zwei Fahrten unterschiedlicher Länge und deren Preisen die lineare Funktion aufstellen und somit die Kosten für andere Strecken abschätzen.
• Wechselkurse: Obwohl Wechselkurse nicht perfekt linear sind, können sie über kurze Zeiträume oft gut durch eine lineare Funktion angenähert werden. Wenn du weißt, dass 1 Euro heute X Dollar wert ist und gestern Y Dollar, kannst du den ungefähren Wert für morgen prognostizieren. (Aber sei vorsichtig, Wechselkurse können sich schnell ändern!)
• Sprachkurse: Wenn du weißt, dass ein Sprachkurs für 10 Stunden Z Euro kostet und für 20 Stunden W Euro, kannst du die Kosten für andere Stundenanzahlen abschätzen.
• Verständnis von Diagrammen und Grafiken: Viele Diagramme und Grafiken basieren auf linearen oder annähernd linearen Beziehungen. Wenn du verstehst, wie lineare Funktionen funktionieren, kannst du diese Informationen besser interpretieren.

Zusammenfassung

Das Bestimmen einer linearen Funktion aus zwei Punkten ist gar nicht so schwer! Mit den folgenden Schritten kommst du ans Ziel:

1. Berechne die Steigung (m) mit der Formel: m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
2. Berechne den y-Achsenabschnitt (b), indem du einen der Punkte und die Steigung in die Formel y = mx + b einsetzt und nach b auflöst.
3. Stelle die lineare Funktion auf, indem du die Werte für m und b in die Formel y = mx + b einsetzt.

Wir hoffen, dieser Artikel hat dir geholfen, das Konzept der linearen Funktion besser zu verstehen. Viel Spaß beim Anwenden dieses Wissens während deines Aufenthalts in Deutschland! Und keine Sorge, falls du doch mal ins Straucheln gerätst – es gibt genug Taschenrechner-Apps, die dir helfen können.