Nullstellen Berechnen P Q Formel

Viele quadratische Gleichungen lassen sich nicht einfach durch Umformen lösen. Für diese Fälle gibt es die p-q-Formel. Sie ist ein wichtiges Werkzeug, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu finden. Dieser Artikel erklärt die p-q-Formel Schritt für Schritt, gibt Beispiele und erklärt, wann sie angewendet werden kann.

Was ist die p-q-Formel?

Die p-q-Formel ist eine Formel, die verwendet wird, um die Nullstellen (auch Lösungen oder Wurzeln genannt) einer quadratischen Gleichung in Normalform zu berechnen. Eine Nullstelle ist der x-Wert, bei dem die Funktion den Wert Null annimmt, also der Punkt, an dem der Graph der Funktion die x-Achse schneidet.

Die Normalform einer quadratischen Gleichung

Die p-q-Formel kann nur dann angewendet werden, wenn die quadratische Gleichung in der Normalform vorliegt. Die Normalform sieht wie folgt aus:

x² + px + q = 0

Hierbei sind:

• x die Variable (Unbekannte), nach der wir suchen.
• p und q Koeffizienten, also Zahlen, die vor der Variablen stehen oder als Konstante addiert werden. Wichtig: Der Koeffizient vor dem x² muss 1 sein!

Die p-q-Formel

Sobald die quadratische Gleichung in Normalform vorliegt, können wir die p-q-Formel anwenden. Die Formel lautet:

x_1,2 = -p/2 ± √( (p/2)² - q )

Diese Formel liefert uns zwei mögliche Lösungen (x₁ und x₂) für x. Das "±" (Plus-Minus-Zeichen) bedeutet, dass wir zuerst die Gleichung mit einem Pluszeichen und dann mit einem Minuszeichen rechnen, um beide Lösungen zu erhalten.

Anwendung der p-q-Formel – Schritt für Schritt

Hier ist eine detaillierte Anleitung zur Anwendung der p-q-Formel:

1. Schritt 1: Stelle die quadratische Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0 um. Das bedeutet, dass der Koeffizient vor dem x² 1 sein muss. Falls er nicht 1 ist, teile die gesamte Gleichung durch diesen Koeffizienten.
2. Schritt 2: Identifiziere die Werte von p und q. Achte dabei auf die Vorzeichen!
3. Schritt 3: Setze die Werte von p und q in die p-q-Formel ein.
4. Schritt 4: Berechne den Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante).
5. Schritt 5: Ziehe die Wurzel aus dem Ergebnis von Schritt 4.
6. Schritt 6: Berechne die beiden Lösungen x₁ und x₂, indem du einmal mit "+" und einmal mit "-" weiterrechnest.

Beispiele

Beispiel 1: Einfache Anwendung

Lösen wir die Gleichung x² + 4x - 5 = 0

1. Die Gleichung ist bereits in Normalform.
2. p = 4, q = -5
3. Einsetzen in die p-q-Formel: x_1,2 = -4/2 ± √( (4/2)² - (-5) )
4. Berechnung unter der Wurzel: √( (2)² + 5 ) = √( 4 + 5 ) = √9 = 3
5. Berechnung der Lösungen:
   • x₁ = -2 + 3 = 1
   • x₂ = -2 - 3 = -5

Die Nullstellen sind also x₁ = 1 und x₂ = -5.

Beispiel 2: Gleichung muss umgeformt werden

Lösen wir die Gleichung 2x² + 8x - 10 = 0

1. Die Gleichung ist nicht in Normalform, da der Koeffizient vor dem x² 2 ist. Wir müssen die gesamte Gleichung durch 2 teilen: x² + 4x - 5 = 0
2. p = 4, q = -5
3. Einsetzen in die p-q-Formel: x_1,2 = -4/2 ± √( (4/2)² - (-5) )
4. Berechnung unter der Wurzel: √( (2)² + 5 ) = √( 4 + 5 ) = √9 = 3
5. Berechnung der Lösungen:
   • x₁ = -2 + 3 = 1
   • x₂ = -2 - 3 = -5

Die Nullstellen sind also x₁ = 1 und x₂ = -5. Beachte, dass wir hier die gleiche Lösung wie in Beispiel 1 erhalten haben, nachdem wir die Gleichung in Normalform gebracht hatten.

Beispiel 3: Keine reellen Lösungen

Lösen wir die Gleichung x² + 2x + 5 = 0

1. Die Gleichung ist bereits in Normalform.
2. p = 2, q = 5
3. Einsetzen in die p-q-Formel: x_1,2 = -2/2 ± √( (2/2)² - 5 )
4. Berechnung unter der Wurzel: √( (1)² - 5 ) = √( 1 - 5 ) = √-4

Da wir die Wurzel aus einer negativen Zahl (√-4) nicht im Bereich der reellen Zahlen ziehen können, hat diese quadratische Gleichung keine reellen Nullstellen. Es gibt komplexe Lösungen, aber diese liegen außerhalb des Rahmens dieser Erklärung.

Diskriminante und Anzahl der Lösungen

Der Ausdruck unter der Wurzel in der p-q-Formel, (p/2)² - q, wird als Diskriminante bezeichnet. Die Diskriminante gibt uns Auskunft über die Anzahl und Art der Lösungen:

• Diskriminante > 0: Die quadratische Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen (zwei verschiedene Nullstellen).
• Diskriminante = 0: Die quadratische Gleichung hat genau eine reelle Lösung (eine doppelte Nullstelle). Der Graph berührt die x-Achse in diesem Punkt.
• Diskriminante < 0: Die quadratische Gleichung hat keine reellen Lösungen (keine Nullstellen im reellen Zahlenbereich). Der Graph schneidet die x-Achse nicht.

Wann die p-q-Formel anwenden?

Die p-q-Formel ist ideal, wenn:

• Die quadratische Gleichung in Normalform vorliegt oder leicht in Normalform gebracht werden kann.
• Die quadratische Gleichung nicht einfach durch Faktorisieren oder Ausklammern gelöst werden kann.

Alternativen zur p-q-Formel

Es gibt auch andere Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen:

• Faktorisieren (Ausklammern): Funktioniert gut, wenn die quadratische Gleichung leicht in Faktoren zerlegt werden kann.
• Quadratische Ergänzung: Kann verwendet werden, um die quadratische Gleichung in eine Form zu bringen, die dann durch Wurzelziehen gelöst werden kann.
• abc-Formel (Mitternachtsformel): Eine allgemeinere Formel, die auch dann funktioniert, wenn die quadratische Gleichung nicht in Normalform ist. Sie ist zwar mächtiger, aber oft komplexer in der Anwendung.

Die p-q-Formel ist ein nützliches und relativ einfaches Werkzeug, um die Nullstellen quadratischer Gleichungen zu berechnen. Mit etwas Übung wird die Anwendung der Formel schnell zur Routine. Vergessen Sie nicht, die Gleichung zuerst in Normalform zu bringen, bevor Sie die Formel anwenden!