Parabel Interpretation Beispiel Mit Lösung

Parabelinterpretation: Ein Beispiel mit Lösung für Einsteiger

Parabeln sind allgegenwärtig in der Mathematik und Physik. Sie beschreiben beispielsweise die Flugbahn eines geworfenen Balls oder die Form einer Satellitenschüssel. In diesem Artikel werden wir uns mit der Interpretation von Parabeln beschäftigen, insbesondere im Kontext von gegebenen Gleichungen und praktischen Beispielen. Wir werden ein konkretes Beispiel durcharbeiten, um das Verständnis zu erleichtern.

Grundlagen: Was ist eine Parabel?

Eine Parabel ist eine ebene Kurve, die durch eine quadratische Gleichung beschrieben wird. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:

y = ax² + bx + c

Hierbei sind a, b und c Konstanten, wobei a ≠ 0. Der Wert von a bestimmt, ob die Parabel nach oben (a > 0) oder nach unten (a < 0) geöffnet ist. b und c beeinflussen die Position der Parabel im Koordinatensystem.

Wichtige Elemente einer Parabel:

• Scheitelpunkt: Der höchste (bei nach unten geöffneten Parabeln) oder tiefste (bei nach oben geöffneten Parabeln) Punkt der Parabel. Die Koordinaten des Scheitelpunkts sind (x_s, y_s).
• Nullstellen: Die Punkte, an denen die Parabel die x-Achse schneidet. Diese entsprechen den Lösungen der Gleichung y = 0.
• y-Achsenabschnitt: Der Punkt, an dem die Parabel die y-Achse schneidet. Dies ist der Wert von y, wenn x = 0.
• Symmetrieachse: Eine vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt verläuft und die Parabel in zwei spiegelbildliche Hälften teilt. Die Gleichung der Symmetrieachse ist x = x_s.

Beispielaufgabe: Interpretation und Lösung

Betrachten wir folgende quadratische Funktion:

y = -x² + 4x - 3

Unser Ziel ist es, diese Parabel vollständig zu interpretieren, d.h. den Scheitelpunkt, die Nullstellen und den y-Achsenabschnitt zu bestimmen und die allgemeine Form der Parabel zu beschreiben.

1. Bestimmung des Scheitelpunkts

Es gibt verschiedene Methoden, um den Scheitelpunkt zu bestimmen. Eine Möglichkeit ist die Scheitelpunktform der quadratischen Gleichung:

y = a(x - x_s)² + y_s

Um unsere Gleichung in diese Form zu bringen, verwenden wir die quadratische Ergänzung:

1. Ausklammern von a: In unserem Fall ist a = -1. Also klammern wir -1 aus den ersten beiden Termen aus:

   y = -(x² - 4x) - 3

2. Quadratische Ergänzung: Wir ergänzen den Ausdruck in der Klammer zu einem vollständigen Quadrat. Dazu nehmen wir die Hälfte des Koeffizienten von x (also -4/2 = -2), quadrieren ihn ((-2)² = 4) und addieren und subtrahieren ihn innerhalb der Klammer:

   y = -(x² - 4x + 4 - 4) - 3

3. Umformen zum Quadrat: Nun können wir den Ausdruck in der Klammer als Quadrat schreiben:

   y = -((x - 2)² - 4) - 3

4. Ausmultiplizieren und Vereinfachen: Wir multiplizieren die Klammer aus und vereinfachen:

   y = -(x - 2)² + 4 - 3

   y = -(x - 2)² + 1

Jetzt haben wir die Scheitelpunktform erreicht. Wir können direkt ablesen, dass der Scheitelpunkt die Koordinaten (2, 1) hat. Also:

x_s = 2

y_s = 1

Der Scheitelpunkt der Parabel ist also (2, 1).

2. Bestimmung der Nullstellen

Um die Nullstellen zu finden, setzen wir y = 0 und lösen die Gleichung nach x auf:

0 = -x² + 4x - 3

Wir können die quadratische Gleichung mit der quadratischen Lösungsformel (auch Mitternachtsformel genannt) lösen:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

In unserem Fall ist a = -1, b = 4 und c = -3. Einsetzen in die Formel ergibt:

x = (-4 ± √(4² - 4 * (-1) * (-3))) / (2 * (-1))

x = (-4 ± √(16 - 12)) / (-2)

x = (-4 ± √4) / (-2)

x = (-4 ± 2) / (-2)

Dies führt zu zwei Lösungen:

x₁ = (-4 + 2) / (-2) = (-2) / (-2) = 1

x₂ = (-4 - 2) / (-2) = (-6) / (-2) = 3

Die Nullstellen der Parabel sind also x₁ = 1 und x₂ = 3. Die Parabel schneidet die x-Achse in den Punkten (1, 0) und (3, 0).

3. Bestimmung des y-Achsenabschnitts

Um den y-Achsenabschnitt zu finden, setzen wir x = 0 in die ursprüngliche Gleichung ein:

y = -(0)² + 4(0) - 3

y = -3

Der y-Achsenabschnitt ist also -3. Die Parabel schneidet die y-Achse im Punkt (0, -3).

4. Zusammenfassung der Interpretation

Basierend auf unseren Berechnungen können wir die Parabel wie folgt interpretieren:

• Die Parabel ist nach unten geöffnet, da a = -1 negativ ist.
• Der Scheitelpunkt der Parabel ist (2, 1).
• Die Nullstellen der Parabel sind x₁ = 1 und x₂ = 3.
• Der y-Achsenabschnitt ist -3.
• Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie x = 2.

Schlussfolgerung

Durch die Bestimmung des Scheitelpunkts, der Nullstellen und des y-Achsenabschnitts konnten wir die Eigenschaften der gegebenen Parabel vollständig interpretieren. Die quadratische Ergänzung und die quadratische Lösungsformel sind dabei wichtige Werkzeuge. Die Fähigkeit, Parabeln zu interpretieren, ist in vielen Bereichen von Mathematik und Naturwissenschaften von großem Nutzen.

Dieses Beispiel soll als Grundlage dienen. Üben Sie mit weiteren Beispielen, um Ihre Fähigkeiten in der Parabelinterpretation zu festigen. Beachten Sie, dass je nach Aufgabenstellung unterschiedliche Schwerpunkte bei der Interpretation liegen können. Manchmal ist der Fokus auf den Scheitelpunkt, in anderen Fällen auf die Nullstellen oder den Bereich, in dem die Parabel positive oder negative Werte annimmt.

Viel Erfolg beim Üben und Anwenden dieses Wissens!