Periodische Dezimalzahlen In Brüche Umwandeln übungen Mit Lösungen

Hallo liebe Freunde von Zahlen und Rechenkünsten! Ihr plant einen Trip nach Deutschland, Österreich oder in die Schweiz und habt vielleicht schon von den berühmt-berüchtigten periodischen Dezimalzahlen gehört? Keine Panik! In diesem Guide zeige ich euch, wie ihr diese kleinen Zahlenmonster ganz einfach in Brüche verwandelt – und das mit vielen Übungen und Lösungen, damit ihr euch wie waschechte Mathe-Profis fühlen könnt. Lasst uns eintauchen in die faszinierende Welt der periodischen Dezimalzahlen!

Was sind periodische Dezimalzahlen überhaupt?

Bevor wir uns den Übungen widmen, klären wir kurz, was eine periodische Dezimalzahl eigentlich ist. Stellt euch eine Zahl vor, bei der sich nach dem Komma eine bestimmte Ziffer oder eine Gruppe von Ziffern unendlich oft wiederholt. Diese sich wiederholende Ziffer(nfolge) nennt man die Periode. Hier sind ein paar Beispiele:

0,33333... (Die 3 wiederholt sich unendlich oft)
0,121212... (Die Ziffernfolge "12" wiederholt sich)
1,45676767... (Die Ziffernfolge "67" wiederholt sich)

Mathematiker sind faul (im positiven Sinne!) und schreiben periodische Dezimalzahlen oft mit einem Strich über der Periode:

0,33333... = 0,3
0,121212... = 0,12
1,45676767... = 1,4567

Wichtig ist: Nicht jede Dezimalzahl ist periodisch. Zahlen wie 0,5 oder 3,1415 sind nicht periodisch, da sie entweder endlich viele Nachkommastellen haben oder die Nachkommastellen sich nicht in einem sich wiederholenden Muster anordnen.

Warum periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln?

Gute Frage! Es gibt mehrere Gründe:

Präzision: Brüche sind oft genauer als periodische Dezimalzahlen, besonders wenn man mit ihnen rechnen muss. Eine gerundete Dezimalzahl kann zu Fehlern führen.
Einfachheit: Manchmal ist es einfacher, mit einem Bruch zu rechnen als mit einer sich unendlich wiederholenden Dezimalzahl.
Theoretische Grundlagen: Das Umwandeln periodischer Dezimalzahlen in Brüche zeigt, dass jede periodische Dezimalzahl eine rationale Zahl ist, also als Bruch dargestellt werden kann.

Die Methode: So wandelt man periodische Dezimalzahlen in Brüche um

Hier kommt die Schritt-für-Schritt-Anleitung. Keine Angst, es ist einfacher als es aussieht!

Definiere die Variable: Nenne die periodische Dezimalzahl x.
Multipliziere mit 10er-Potenzen: Multipliziere x mit einer 10er-Potenz (10, 100, 1000, usw.), sodass die Periode direkt hinter dem Komma steht. Multipliziere x auch mit einer weiteren 10er-Potenz, sodass eine Periode vor dem Komma steht. Die Wahl der 10er-Potenz hängt von der Länge der Periode ab. Hat die Periode eine Ziffer, multiplizierst du mit 10. Hat die Periode zwei Ziffern, multiplizierst du mit 100, usw.
Subtrahiere: Subtrahiere die erste Gleichung (mit Periode direkt hinter dem Komma) von der zweiten Gleichung (mit einer Periode vor dem Komma). Dadurch fallen die sich wiederholenden Dezimalstellen weg!
Löse nach x auf: Du erhältst eine einfache Gleichung, die du nach x auflösen kannst. Das Ergebnis ist der Bruch!
Vereinfache (falls möglich): Kürze den Bruch, wenn möglich.

Übungen mit Lösungen

Jetzt wird es ernst! Hier sind ein paar Übungen, mit denen ihr euer neu erworbenes Wissen testen könnt. Die Lösungen findet ihr direkt darunter.

Übung 1: 0,6 in einen Bruch umwandeln

Lösung:

x = 0,6
10x = 6,6
10x - x = 6,6 - 0,6 => 9x = 6
x = 6/9
x = 2/3 (gekürzt)

Also ist 0,6 = 2/3.

Übung 2: 0,12 in einen Bruch umwandeln

Lösung:

x = 0,12
100x = 12,12
100x - x = 12,12 - 0,12 => 99x = 12
x = 12/99
x = 4/33 (gekürzt)

Also ist 0,12 = 4/33.

Übung 3: 1,3 in einen Bruch umwandeln

Lösung:

x = 1,3
10x = 13,3
10x - x = 13,3 - 1,3 => 9x = 12
x = 12/9
x = 4/3 (gekürzt)

Also ist 1,3 = 4/3.

Übung 4: 2,416 in einen Bruch umwandeln

Lösung:

x = 2,416
10x = 24,16 (Erste 10er Potenz, um die Periode *direkt* nach dem Komma zu bekommen)
1000x = 2416,16 (Zweite 10er Potenz, sodass *eine* Periode *vor* dem Komma steht)
1000x - 10x = 2416,16 - 24,16 => 990x = 2392
x = 2392/990
x = 1196/495 (gekürzt)

Also ist 2,416 = 1196/495.

Übung 5: 0,045 in einen Bruch umwandeln

Lösung:

x = 0,045
10x = 0,45
1000x = 45,45
1000x - 10x = 45,45 - 0,45 => 990x = 45
x = 45/990
x = 1/22 (gekürzt)

Also ist 0,045 = 1/22.

Übung 6: 5,12345 in einen Bruch umwandeln

Lösung:

x = 5,12345
100x = 512,345
100000x = 512345,345
100000x - 100x = 512345,345 - 512,345 => 99900x = 511833
x = 511833/99900
x = 170611/33300 (gekürzt)

Also ist 5,12345 = 170611/33300.

Tipps und Tricks

Genaue Beobachtung: Achtet genau darauf, welche Ziffern sich wiederholen. Das ist entscheidend für die korrekte Anwendung der Methode.
Brüche kürzen: Vergesst nicht, den Bruch am Ende so weit wie möglich zu kürzen. Das macht das Ergebnis übersichtlicher.
Taschenrechner: Benutzt einen Taschenrechner, um eure Ergebnisse zu überprüfen. Viele Taschenrechner können Brüche in Dezimalzahlen umwandeln und umgekehrt.
Übung macht den Meister: Je mehr Übungen ihr macht, desto schneller und sicherer werdet ihr im Umwandeln periodischer Dezimalzahlen in Brüche.

Sonderfall: Gemischt periodische Dezimalzahlen

Manchmal gibt es Zahlen, bei denen nicht alle Nachkommastellen periodisch sind. Zum Beispiel: 0,23. Hier ist nur die 3 periodisch, die 2 aber nicht. Die Umwandlung ist ähnlich, erfordert aber einen zusätzlichen Schritt: Stelle sicher, dass nur die Periode hinter dem Komma steht, bevor du die Multiplikations- und Subtraktionsschritte durchführst.

Beispiel: 0,23 in einen Bruch umwandeln

x = 0,23
10x = 2,3
100x = 23,3
100x - 10x = 23,3 - 2,3 => 90x = 21
x = 21/90
x = 7/30 (gekürzt)

Fazit

Herzlichen Glückwunsch! Ihr habt jetzt gelernt, wie man periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandelt. Mit etwas Übung werdet ihr diese Fähigkeit bald beherrschen und könnt eure Freunde und Familie mit euren mathematischen Kenntnissen beeindrucken. Und das Wichtigste: Ihr seid bestens gerüstet für euren Aufenthalt in Deutschland, Österreich oder der Schweiz, falls euch jemals eine periodische Dezimalzahl über den Weg laufen sollte. Viel Spaß beim Rechnen und Entdecken!