Pq Formel Aufgaben Mit Lösungen

Die p-q-Formel ist ein Werkzeug zur Lösung von quadratischen Gleichungen in der Mathematik. Sie ist besonders nützlich, wenn die quadratische Gleichung nicht einfach durch Faktorisieren oder andere Methoden gelöst werden kann. Dieser Artikel erklärt die p-q-Formel, wie sie angewendet wird, und bietet gelöste Beispiele, um das Verständnis zu erleichtern.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form:

ax² + bx + c = 0

Dabei sind a, b und c Konstanten, und x ist die Unbekannte. Die p-q-Formel ist speziell für quadratische Gleichungen in Normalform geeignet. Die Normalform wird erreicht, indem die Gleichung durch a dividiert wird, sodass der Koeffizient vor x² gleich 1 ist:

x² + px + q = 0

Hierbei gilt: p = b/a und q = c/a.

Die p-q-Formel

Die p-q-Formel lautet:

x_1,2 = -p/2 ± √( (p/2)² - q )

Hierbei:

• x₁ und x₂ sind die beiden möglichen Lösungen für x.
• p ist der Koeffizient vor dem linearen Glied x in der Normalform der quadratischen Gleichung.
• q ist die Konstante in der Normalform der quadratischen Gleichung.

Anwendung der p-q-Formel: Schritt für Schritt

Um die p-q-Formel anzuwenden, folge diesen Schritten:

1. Bringe die quadratische Gleichung in Normalform: Stelle sicher, dass die Gleichung die Form x² + px + q = 0 hat. Teile gegebenenfalls die gesamte Gleichung durch den Koeffizienten vor x².
2. Identifiziere p und q: Bestimme die Werte von p und q aus der Normalform der Gleichung.
3. Setze p und q in die p-q-Formel ein: Ersetze p und q in der Formel durch ihre entsprechenden Werte.
4. Berechne die Diskriminante: Die Diskriminante ist der Ausdruck unter der Wurzel: (p/2)² - q. Sie bestimmt die Anzahl und Art der Lösungen.
   • Wenn die Diskriminante positiv ist, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.
   • Wenn die Diskriminante null ist, gibt es eine reelle Lösung (oder zwei identische Lösungen).
   • Wenn die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Lösungen (sondern zwei komplexe Lösungen).
5. Berechne die Lösungen: Berechne x₁ und x₂, indem du die Quadratwurzel der Diskriminante ziehst und die entsprechenden Additionen und Subtraktionen durchführst.

Gelöste Beispiele

Beispiel 1: Einfache Anwendung

Löse die Gleichung: x² + 6x + 5 = 0

1. Die Gleichung ist bereits in Normalform.
2. p = 6, q = 5
3. Einsetzen in die p-q-Formel: x_1,2 = -6/2 ± √((6/2)² - 5)
4. Diskriminante: (6/2)² - 5 = 3² - 5 = 9 - 5 = 4
5. Lösungen:
   • x₁ = -3 + √4 = -3 + 2 = -1
   • x₂ = -3 - √4 = -3 - 2 = -5

Die Lösungen sind x₁ = -1 und x₂ = -5.

Beispiel 2: Mit Brüchen

Löse die Gleichung: x² - 4x + 3.75 = 0

1. Die Gleichung ist bereits in Normalform.
2. p = -4, q = 3.75
3. Einsetzen in die p-q-Formel: x_1,2 = -(-4)/2 ± √((-4/2)² - 3.75)
4. Diskriminante: (-4/2)² - 3.75 = (-2)² - 3.75 = 4 - 3.75 = 0.25
5. Lösungen:
   • x₁ = 2 + √0.25 = 2 + 0.5 = 2.5
   • x₂ = 2 - √0.25 = 2 - 0.5 = 1.5

Die Lösungen sind x₁ = 2.5 und x₂ = 1.5.

Beispiel 3: Keine reellen Lösungen

Löse die Gleichung: x² + 2x + 2 = 0

1. Die Gleichung ist bereits in Normalform.
2. p = 2, q = 2
3. Einsetzen in die p-q-Formel: x_1,2 = -2/2 ± √((2/2)² - 2)
4. Diskriminante: (2/2)² - 2 = 1² - 2 = 1 - 2 = -1

Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Lösungen. Die Lösungen sind komplexe Zahlen.

Beispiel 4: Umformen in Normalform

Löse die Gleichung: 2x² + 8x - 10 = 0

1. Umformen in Normalform: Teile die gesamte Gleichung durch 2: x² + 4x - 5 = 0
2. p = 4, q = -5
3. Einsetzen in die p-q-Formel: x_1,2 = -4/2 ± √((4/2)² - (-5))
4. Diskriminante: (4/2)² - (-5) = 2² + 5 = 4 + 5 = 9
5. Lösungen:
   • x₁ = -2 + √9 = -2 + 3 = 1
   • x₂ = -2 - √9 = -2 - 3 = -5

Die Lösungen sind x₁ = 1 und x₂ = -5.

Beispiel 5: Anwendung in Textaufgaben

Eine rechteckige Fläche hat einen Flächeninhalt von 24 m². Eine Seite ist 2 Meter länger als die andere. Berechne die Länge der beiden Seiten.

1. Sei x die Länge der kürzeren Seite. Dann ist die Länge der längeren Seite x + 2.
2. Der Flächeninhalt ist gegeben durch x * (x + 2) = 24
3. Umformen der Gleichung: x² + 2x = 24
4. Umformen in Normalform: x² + 2x - 24 = 0
5. p = 2, q = -24
6. Einsetzen in die p-q-Formel: x_1,2 = -2/2 ± √((2/2)² - (-24))
7. Diskriminante: (2/2)² - (-24) = 1² + 24 = 1 + 24 = 25
8. Lösungen:
   • x₁ = -1 + √25 = -1 + 5 = 4
   • x₂ = -1 - √25 = -1 - 5 = -6

Da eine Länge nicht negativ sein kann, ist x = 4 die einzige sinnvolle Lösung. Die kürzere Seite ist 4 Meter lang, und die längere Seite ist 4 + 2 = 6 Meter lang.

Wichtige Hinweise

• Vorzeichen beachten: Achte besonders auf die Vorzeichen von p und q beim Einsetzen in die Formel.
• Diskriminante prüfen: Die Diskriminante gibt Auskunft über die Art der Lösungen. Eine negative Diskriminante bedeutet, dass es keine reellen Lösungen gibt.
• Normalform ist essentiell: Die p-q-Formel funktioniert nur, wenn die quadratische Gleichung in Normalform vorliegt.

Zusammenfassung

Die p-q-Formel ist ein mächtiges Werkzeug zur Lösung quadratischer Gleichungen. Durch das Umformen der Gleichung in Normalform und das korrekte Einsetzen der Werte von p und q in die Formel können die Lösungen einfach berechnet werden. Die Diskriminante hilft dabei, die Art und Anzahl der Lösungen zu bestimmen. Mit etwas Übung wird die Anwendung der p-q-Formel zum Kinderspiel.