Quadratische Funktion Aufstellen Mit 2 Punkten

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form f(x) = ax² + bx + c, wobei a, b und c Konstanten sind und a ≠ 0. Das Aufstellen einer quadratischen Funktion anhand von gegebenen Punkten ist eine häufige Aufgabe, insbesondere in Bereichen wie der Mathematik, Physik und Ingenieurwesen. Dieser Artikel erklärt, wie Sie eine quadratische Funktion erstellen, wenn Sie zwei Punkte kennen. Es gibt hierbei mehrere Szenarien, die wir betrachten müssen, da die benötigte Information variieren kann.

Fall 1: Zwei Punkte und die Information über die Symmetrieachse oder den Scheitelpunkt

Dieser Fall ist etwas einfacher, da die zusätzliche Information uns einen direkteren Weg zur Lösung bietet. Der Scheitelpunkt ist der Punkt, an dem die Parabel ihr Maximum oder Minimum erreicht. Die Symmetrieachse ist eine vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt verläuft und die Parabel spiegelt.

1.1 Scheitelpunktform nutzen

Wenn Sie den Scheitelpunkt S(xs | ys) und einen weiteren Punkt P(xp | yp) kennen, können Sie die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion verwenden:

f(x) = a(x - xs)² + ys

Um die Funktion zu bestimmen, müssen wir den Wert von 'a' finden. Dazu setzen wir die Koordinaten des gegebenen Punktes P(xp | yp) in die Gleichung ein und lösen nach 'a' auf:

yp = a(xp - xs)² + ys

a = (yp - ys) / (xp - xs)²

Sobald Sie 'a' berechnet haben, setzen Sie diesen Wert zusammen mit den Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelpunktform ein. Damit erhalten Sie die vollständige Funktionsgleichung.

Beispiel: Gegeben sind der Scheitelpunkt S(2 | 3) und der Punkt P(4 | 5). Bestimmen Sie die quadratische Funktion.

1. Scheitelpunktform: f(x) = a(x - 2)² + 3
2. Punkt P einsetzen: 5 = a(4 - 2)² + 3
3. Nach 'a' auflösen: 5 = 4a + 3 => 2 = 4a => a = 0.5
4. Funktion: f(x) = 0.5(x - 2)² + 3

1.2 Symmetrieachse und zwei Punkte

Wenn die Symmetrieachse (x = xs) und zwei Punkte P1(x1 | y1) und P2(x2 | y2) bekannt sind, dann wissen wir, dass der Scheitelpunkt bei (xs | ys) liegt, wobei ys noch unbekannt ist. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist bereits gegeben (xs). Wir können die Scheitelpunktform verwenden, um eine Gleichung mit zwei Unbekannten (a und ys) zu erstellen, indem wir jeden der gegebenen Punkte einsetzen.

y1 = a(x1 - xs)² + ys

y2 = a(x2 - xs)² + ys

Nun haben wir ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Dieses können wir lösen, um 'a' und 'ys' zu finden. Eine gängige Methode ist die Subtraktion der beiden Gleichungen voneinander, um 'ys' zu eliminieren und nach 'a' aufzulösen. Danach kann 'a' in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt werden, um 'ys' zu berechnen.

Fall 2: Zwei beliebige Punkte und eine zusätzliche Bedingung

Wenn Sie nur zwei beliebige Punkte P1(x1 | y1) und P2(x2 | y2) haben, benötigen Sie eine dritte Information, um die quadratische Funktion eindeutig zu bestimmen. Diese dritte Information kann beispielsweise der y-Achsenabschnitt, die Steigung in einem bestimmten Punkt oder ein weiterer Punkt sein. Wir betrachten hier den Fall des y-Achsenabschnitts.

2.1 Zwei Punkte und der y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem die Parabel die y-Achse schneidet, also der Punkt (0 | c). Da die allgemeine Form der quadratischen Funktion f(x) = ax² + bx + c ist, kennen wir nun bereits den Wert von 'c'. Wir müssen nun 'a' und 'b' bestimmen. Wir können die Koordinaten der beiden gegebenen Punkte in die allgemeine Form einsetzen:

y1 = ax1² + bx1 + c

y2 = ax2² + bx2 + c

Nun haben wir ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (a und b). Wir können dieses System lösen, um die Werte von 'a' und 'b' zu finden. Es gibt verschiedene Methoden, um ein solches System zu lösen, z.B. das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren.

Beispiel: Gegeben sind die Punkte P1(1 | 2), P2(2 | 5) und der y-Achsenabschnitt (0 | 1). Bestimmen Sie die quadratische Funktion.

1. Allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + 1
2. Punkte einsetzen:
   • 2 = a(1)² + b(1) + 1 => 2 = a + b + 1
   • 5 = a(2)² + b(2) + 1 => 5 = 4a + 2b + 1
3. System lösen:
   • a + b = 1 => b = 1 - a
   • 4a + 2b = 4 => 4a + 2(1 - a) = 4
   • 4a + 2 - 2a = 4 => 2a = 2 => a = 1
   • b = 1 - a = 1 - 1 = 0
4. Funktion: f(x) = x² + 0x + 1 = x² + 1

Fall 3: Verwendung der allgemeinen Form mit drei Punkten

Dies ist der allgemeinste Fall. Wenn Sie drei beliebige Punkte P1(x1 | y1), P2(x2 | y2) und P3(x3 | y3) kennen, können Sie diese in die allgemeine Form der quadratischen Funktion einsetzen, um ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten (a, b und c) zu erhalten:

y1 = ax1² + bx1 + c

y2 = ax2² + bx2 + c

y3 = ax3² + bx3 + c

Dieses System kann mit verschiedenen Methoden gelöst werden, z.B. mit dem Gauß-Verfahren, der Cramerschen Regel oder durch sukzessives Einsetzen und Eliminieren von Variablen. Die Wahl der Methode hängt oft von den spezifischen Werten der gegebenen Punkte ab.

Beispiel: Gegeben sind die Punkte P1(-1 | 6), P2(1 | 2) und P3(2 | 3). Bestimmen Sie die quadratische Funktion.

1. Allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
2. Punkte einsetzen:
   • 6 = a(-1)² + b(-1) + c => 6 = a - b + c
   • 2 = a(1)² + b(1) + c => 2 = a + b + c
   • 3 = a(2)² + b(2) + c => 3 = 4a + 2b + c
3. System lösen:
   • Gleichung (2) - Gleichung (1): -4 = 2b => b = -2
   • Gleichung (3) - Gleichung (2): 1 = 3a + b => 1 = 3a - 2 => 3 = 3a => a = 1
   • Einsetzen in Gleichung (2): 2 = 1 - 2 + c => 2 = -1 + c => c = 3
4. Funktion: f(x) = x² - 2x + 3

Zusammenfassung

Das Aufstellen einer quadratischen Funktion anhand von gegebenen Punkten erfordert in der Regel die Lösung eines Gleichungssystems. Der Schwierigkeitsgrad und die beste Vorgehensweise hängen von den gegebenen Informationen ab. Mit dem Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt ist die Aufgabe relativ einfach, da die Scheitelpunktform direkt verwendet werden kann. Mit drei beliebigen Punkten wird die Lösung aufwendiger und erfordert die Lösung eines Systems aus drei Gleichungen. Die oben beschriebenen Methoden bieten einen umfassenden Leitfaden für die Lösung dieser Aufgaben. Es ist wichtig, die gegebenen Informationen sorgfältig zu prüfen und die am besten geeignete Methode auszuwählen, um die quadratische Funktion effizient zu bestimmen.

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