Quadratische Funktionen Nullstellen Berechnen Aufgaben Mit Lösungen

Quadratische Funktionen sind ein fundamentales Thema in der Mathematik, dem man in vielen Bereichen begegnet. Eine der wichtigsten Aufgaben im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen ist die Berechnung ihrer Nullstellen. Dieser Artikel erklärt, was Nullstellen sind, wie man sie berechnet und bietet verschiedene Lösungswege mit Beispielen.

Was sind Nullstellen einer quadratischen Funktion?

Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c, wobei a, b und c Konstanten sind und a ≠ 0 gilt. Die Nullstellen dieser Funktion sind die x-Werte, für die f(x) = 0 ist. Mit anderen Worten, es sind die Stellen, an denen der Graph der quadratischen Funktion die x-Achse schneidet. Eine quadratische Funktion kann zwei, eine oder keine reellen Nullstellen haben. Die Anzahl der Nullstellen wird durch die Diskriminante bestimmt (dazu später mehr).

Methoden zur Berechnung von Nullstellen

Es gibt verschiedene Methoden, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen:

1. Faktorisierung (Ausklammern und Produkt-Null-Satz)

Die Faktorisierung ist eine Methode, die besonders dann gut funktioniert, wenn die quadratische Funktion leicht in zwei lineare Faktoren zerlegt werden kann. Das Ziel ist es, die Funktion in der Form f(x) = (x - x₁) * (x - x₂) darzustellen, wobei x₁ und x₂ die Nullstellen sind.

Beispiel:

Betrachten wir die Funktion f(x) = x² - 5x + 6. Wir suchen zwei Zahlen, deren Produkt 6 und deren Summe -5 ist. Diese Zahlen sind -2 und -3. Daher können wir die Funktion wie folgt faktorisieren:

f(x) = (x - 2) * (x - 3)

Um die Nullstellen zu finden, setzen wir f(x) = 0:

(x - 2) * (x - 3) = 0

Nach dem Produkt-Null-Satz ist ein Produkt genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Daher:

x - 2 = 0 oder x - 3 = 0

x₁ = 2 und x₂ = 3

Die Nullstellen der Funktion f(x) = x² - 5x + 6 sind also x₁ = 2 und x₂ = 3.

2. Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung ist eine Methode, die immer funktioniert, auch wenn die Faktorisierung schwierig ist. Sie wird verwendet, um die quadratische Funktion in die Scheitelpunktform umzuwandeln: f(x) = a(x - h)² + k, wobei (h, k) der Scheitelpunkt der Parabel ist.

Beispiel:

Betrachten wir die Funktion f(x) = x² + 4x - 5.

1. Nehmen Sie die Hälfte des Koeffizienten von x (hier 4), quadrieren Sie sie ( (4/2)² = 4) und addieren und subtrahieren Sie diese Zahl zur Funktion:

f(x) = x² + 4x + 4 - 4 - 5

2. Fassen Sie die ersten drei Terme zu einem Quadrat zusammen:

f(x) = (x + 2)² - 9

Um die Nullstellen zu finden, setzen wir f(x) = 0:

(x + 2)² - 9 = 0

(x + 2)² = 9

Nehmen Sie die Quadratwurzel beider Seiten:

x + 2 = ±3

x = -2 ± 3

x₁ = -2 + 3 = 1

x₂ = -2 - 3 = -5

Die Nullstellen der Funktion f(x) = x² + 4x - 5 sind also x₁ = 1 und x₂ = -5.

3. Die quadratische Formel (Mitternachtsformel)

Die quadratische Formel, auch bekannt als Mitternachtsformel, ist die universellste Methode zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion. Sie wird aus der quadratischen Ergänzung abgeleitet und lautet:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Hierbei sind a, b und c die Koeffizienten der quadratischen Funktion f(x) = ax² + bx + c.

Beispiel:

Betrachten wir die Funktion f(x) = 2x² - 7x + 3.

Hier ist a = 2, b = -7 und c = 3.

Setzen Sie die Werte in die quadratische Formel ein:

x = (7 ± √((-7)² - 4 * 2 * 3)) / (2 * 2)

x = (7 ± √(49 - 24)) / 4

x = (7 ± √25) / 4

x = (7 ± 5) / 4

x₁ = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3

x₂ = (7 - 5) / 4 = 2 / 4 = 0.5

Die Nullstellen der Funktion f(x) = 2x² - 7x + 3 sind also x₁ = 3 und x₂ = 0.5.

Die Diskriminante

Die Diskriminante (D) ist der Teil der quadratischen Formel unter der Wurzel: D = b² - 4ac. Sie gibt Aufschluss über die Anzahl und Art der Nullstellen:

• D > 0: Die quadratische Funktion hat zwei verschiedene reelle Nullstellen.
• D = 0: Die quadratische Funktion hat genau eine reelle Nullstelle (eine doppelte Nullstelle).
• D < 0: Die quadratische Funktion hat keine reellen Nullstellen (sondern zwei komplexe Nullstellen).

Beispiel:

1. f(x) = x² - 4x + 3: D = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4 > 0. Zwei reelle Nullstellen.
2. f(x) = x² - 4x + 4: D = (-4)² - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0. Eine reelle Nullstelle.
3. f(x) = x² - 4x + 5: D = (-4)² - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4 < 0. Keine reellen Nullstellen.

Aufgaben mit Lösungen

Hier sind einige Übungsaufgaben zur Berechnung von Nullstellen quadratischer Funktionen mit Lösungen:

Aufgabe 1:

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = x² - 2x - 8.

Lösung:

Wir verwenden die quadratische Formel:

x = (2 ± √((-2)² - 4 * 1 * -8)) / (2 * 1)

x = (2 ± √(4 + 32)) / 2

x = (2 ± √36) / 2

x = (2 ± 6) / 2

x₁ = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4

x₂ = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2

Die Nullstellen sind x₁ = 4 und x₂ = -2.

Aufgabe 2:

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = 3x² + 6x + 3.

Lösung:

Wir können zuerst 3 ausklammern: f(x) = 3(x² + 2x + 1)

Die Funktion in der Klammer kann faktorisiert werden als: f(x) = 3(x + 1)²

Setzen wir f(x) = 0:

3(x + 1)² = 0

(x + 1)² = 0

x + 1 = 0

x = -1

Die Nullstelle ist x = -1 (doppelte Nullstelle).

Aufgabe 3:

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = x² + 2x + 5.

Lösung:

Wir verwenden die quadratische Formel:

x = (-2 ± √(2² - 4 * 1 * 5)) / (2 * 1)

x = (-2 ± √(4 - 20)) / 2

x = (-2 ± √-16) / 2

Da die Diskriminante negativ ist (-16), hat die Funktion keine reellen Nullstellen. Die Nullstellen sind komplex.

Zusammenfassung

Das Berechnen der Nullstellen quadratischer Funktionen ist eine wichtige Fähigkeit in der Mathematik. Es gibt verschiedene Methoden, die je nach Funktion mehr oder weniger geeignet sind: Faktorisierung, quadratische Ergänzung und die quadratische Formel. Die Diskriminante hilft dabei, die Anzahl und Art der Nullstellen zu bestimmen. Durch Übung mit verschiedenen Aufgaben kann man diese Methoden beherrschen und Nullstellen sicher berechnen.

Tipp: Nutzen Sie Online-Rechner, um Ihre Ergebnisse zu überprüfen. Viele Websites bieten kostenlose Rechner für quadratische Gleichungen an.