Rationale Zahlen Multiplizieren Und Dividieren Aufgaben

Das Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen ist eine grundlegende mathematische Fähigkeit, die im Alltag und in vielen Berufen Anwendung findet. Rationale Zahlen umfassen alle Zahlen, die als Bruch dargestellt werden können, also in der Form a/b, wobei a und b ganze Zahlen sind und b nicht null ist. Dazu gehören ganze Zahlen, Brüche, Dezimalzahlen, die entweder endlich sind oder periodisch.

Multiplikation rationaler Zahlen

Die Multiplikation rationaler Zahlen ist relativ einfach. Die allgemeine Regel lautet: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Formal ausgedrückt:

(a/b) * (c/d) = (a*c) / (b*d)

Beispiele:

(1/2) * (2/3) = (1*2) / (2*3) = 2/6 = 1/3 (gekürzt)
(-3/4) * (1/5) = (-3*1) / (4*5) = -3/20
(5/1) * (2/7) = (5*2) / (1*7) = 10/7 (Beachte: Jede ganze Zahl kann als Bruch mit dem Nenner 1 dargestellt werden)

Vorzeichenregeln bei der Multiplikation

Bei der Multiplikation ist es wichtig, die Vorzeichenregeln zu beachten:

Plus mal Plus ergibt Plus: (+) * (+) = (+)
Minus mal Minus ergibt Plus: (-) * (-) = (+)
Plus mal Minus ergibt Minus: (+) * (-) = (-)
Minus mal Plus ergibt Minus: (-) * (+) = (-)

Kurz gesagt: Wenn die Vorzeichen gleich sind, ist das Ergebnis positiv. Wenn die Vorzeichen unterschiedlich sind, ist das Ergebnis negativ.

Beispiele mit Vorzeichen:

(-1/2) * (-2/3) = (1*2) / (2*3) = 2/6 = 1/3 (Minus mal Minus ergibt Plus)
(3/4) * (-1/5) = (-3*1) / (4*5) = -3/20 (Plus mal Minus ergibt Minus)

Multiplikation mit Dezimalzahlen

Die Multiplikation von Dezimalzahlen kann entweder durch Umwandlung in Brüche erfolgen oder direkt, wie man es mit ganzen Zahlen tun würde. Bei der direkten Multiplikation ist zu beachten, wie viele Nachkommastellen die Faktoren insgesamt haben. Das Ergebnis muss dann entsprechend viele Nachkommastellen haben.

Beispiel:

1.2 * 0.25 = ?

1. Multipliziere ohne Berücksichtigung der Dezimalkommas: 12 * 25 = 300

2. 1.2 hat eine Nachkommastelle und 0.25 hat zwei Nachkommastellen. Insgesamt sind das drei Nachkommastellen.

3. Setze das Dezimalkomma in das Ergebnis, sodass es drei Nachkommastellen hat: 0.300 = 0.3

Also: 1.2 * 0.25 = 0.3

Division rationaler Zahlen

Die Division rationaler Zahlen ist eng mit der Multiplikation verbunden. Dividieren durch einen Bruch ist dasselbe wie Multiplizieren mit dem Kehrwert dieses Bruchs. Der Kehrwert eines Bruchs a/b ist b/a. Formal ausgedrückt:

(a/b) / (c/d) = (a/b) * (d/c) = (a*d) / (b*c)

Beispiele:

(1/2) / (2/3) = (1/2) * (3/2) = (1*3) / (2*2) = 3/4
(-3/4) / (1/5) = (-3/4) * (5/1) = (-3*5) / (4*1) = -15/4
(5/1) / (2/7) = (5/1) * (7/2) = (5*7) / (1*2) = 35/2

Vorzeichenregeln bei der Division

Die Vorzeichenregeln bei der Division sind genau die gleichen wie bei der Multiplikation:

Plus geteilt durch Plus ergibt Plus: (+) / (+) = (+)
Minus geteilt durch Minus ergibt Plus: (-) / (-) = (+)
Plus geteilt durch Minus ergibt Minus: (+) / (-) = (-)
Minus geteilt durch Plus ergibt Minus: (-) / (+) = (-)

Beispiele mit Vorzeichen:

(-1/2) / (-2/3) = (-1/2) * (-3/2) = (1*3) / (2*2) = 3/4 (Minus geteilt durch Minus ergibt Plus)
(3/4) / (-1/5) = (3/4) * (-5/1) = (-3*5) / (4*1) = -15/4 (Plus geteilt durch Minus ergibt Minus)

Division mit Dezimalzahlen

Die Division von Dezimalzahlen kann ebenfalls durch Umwandlung in Brüche erfolgen. Eine andere Methode ist, den Divisor (die Zahl, durch die geteilt wird) in eine ganze Zahl umzuwandeln. Dazu multipliziert man sowohl den Divisor als auch den Dividenden (die Zahl, die geteilt wird) mit einer Zehnerpotenz (10, 100, 1000 usw.).

Beispiel:

1.5 / 0.3 = ?

1. Multipliziere sowohl Divisor als auch Dividenden mit 10, um den Divisor in eine ganze Zahl umzuwandeln: (1.5 * 10) / (0.3 * 10) = 15 / 3

2. Teile die resultierenden ganzen Zahlen: 15 / 3 = 5

Also: 1.5 / 0.3 = 5

Beispiel (komplexer):

4.32 / 0.12 = ?

1. Multipliziere sowohl Divisor als auch Dividenden mit 100 um den Divisor in eine ganze Zahl umzuwandeln: (4.32 * 100) / (0.12 * 100) = 432 / 12

2. Teile die resultierenden ganzen Zahlen: 432 / 12 = 36

Also: 4.32 / 0.12 = 36

Wichtige Hinweise

Kürzen: Vor dem Multiplizieren oder Dividieren kann es hilfreich sein, Brüche zu kürzen, um die Rechnung zu vereinfachen. Das Kürzen bedeutet, Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler zu teilen.
Gemischte Zahlen: Wandle gemischte Zahlen (z.B. 2 1/3) vor der Multiplikation oder Division in unechte Brüche um. 2 1/3 = (2*3 + 1) / 3 = 7/3
Null: Dividieren durch Null ist nicht definiert. Ein Bruch mit Null im Nenner ist ungültig. Multiplizieren mit Null ergibt immer Null.

Zusammenfassung

Das Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen ist ein wichtiger Baustein der Mathematik. Indem man die Grundregeln (Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner für die Multiplikation; Multiplikation mit dem Kehrwert für die Division) und die Vorzeichenregeln beachtet, kann man diese Operationen sicher ausführen. Die Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche oder das Anwenden der Verschiebung des Dezimalkommas kann die Berechnung weiter vereinfachen. Regelmäßige Übung ist der Schlüssel zum Erfolg!