Rationalen Zahlen Addieren Und Subtrahieren

Rationale Zahlen sind ein grundlegender Bestandteil der Mathematik und spielen eine wichtige Rolle im Alltag. Sie umfassen alle Zahlen, die als Bruch dargestellt werden können, wobei der Zähler und der Nenner ganze Zahlen sind (der Nenner darf jedoch nicht Null sein). Dazu gehören ganze Zahlen, Brüche, Dezimalzahlen mit endlicher oder periodischer Dezimaldarstellung. Das Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen ist eine essentielle Fähigkeit, um beispielsweise Rechnungen zu verstehen, Kochrezepte anzupassen oder finanzielle Angelegenheiten zu regeln. Dieser Artikel erklärt auf einfache und verständliche Weise, wie man rationale Zahlen addiert und subtrahiert.

Grundlagen: Was sind rationale Zahlen?

Bevor wir uns mit der Addition und Subtraktion beschäftigen, ist es wichtig zu verstehen, was rationale Zahlen sind. Eine rationale Zahl ist jede Zahl, die als Bruch a/b dargestellt werden kann, wobei a und b ganze Zahlen sind und b ≠ 0 ist. Beispiele für rationale Zahlen sind:

• Ganze Zahlen: 5 (kann als 5/1 geschrieben werden)
• Brüche: 1/2, 3/4, -2/5
• Dezimalzahlen mit endlicher Dezimaldarstellung: 0.25 (kann als 1/4 geschrieben werden), 1.5 (kann als 3/2 geschrieben werden)
• Dezimalzahlen mit periodischer Dezimaldarstellung: 0.333... (kann als 1/3 geschrieben werden), 1.666... (kann als 5/3 geschrieben werden)

Im Gegensatz dazu sind irrationale Zahlen, wie die Quadratwurzel aus 2 (√2) oder Pi (π), *nicht* als Brüche darstellbar und haben eine unendliche, nicht-periodische Dezimaldarstellung.

Addition rationaler Zahlen

Addition von Brüchen mit gleichem Nenner

Die Addition von Brüchen mit gleichem Nenner ist der einfachste Fall. Um zwei Brüche mit gleichem Nenner zu addieren, addiert man einfach die Zähler und behält den gemeinsamen Nenner bei:

a/c + b/c = (a + b)/c

Beispiel:

1/5 + 2/5 = (1 + 2)/5 = 3/5

Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Wenn die Brüche unterschiedliche Nenner haben, müssen wir sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Der gebräuchlichste gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner.

Schritte:

1. Bestimme das kgV der Nenner.
2. Erweitere jeden Bruch so, dass er den gemeinsamen Nenner (das kgV) erhält. Um einen Bruch zu erweitern, multipliziert man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit derselben Zahl.
3. Addiere die erweiterten Brüche, indem man die Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.

Beispiel:

1/3 + 1/4

1. Das kgV von 3 und 4 ist 12.
2. Erweitere die Brüche:
   • 1/3 = (1 * 4)/(3 * 4) = 4/12
   • 1/4 = (1 * 3)/(4 * 3) = 3/12
3. Addiere die erweiterten Brüche:
   • 4/12 + 3/12 = (4 + 3)/12 = 7/12

Daher ist 1/3 + 1/4 = 7/12.

Addition von gemischten Zahlen

Gemischte Zahlen bestehen aus einer ganzen Zahl und einem Bruch. Um gemischte Zahlen zu addieren, gibt es zwei gängige Methoden:

Methode 1:

1. Addiere die ganzen Zahlen.
2. Addiere die Brüche (ggf. mit vorheriger Anpassung auf einen gemeinsamen Nenner).
3. Addiere die Ergebnisse der beiden Schritte. Wenn der Bruch im Ergebnis unecht ist (Zähler größer als Nenner), wandle ihn in eine gemischte Zahl um und addiere die ganze Zahl zum bereits vorhandenen ganzen Zahlenteil.

Beispiel:

2 1/2 + 1 1/4

1. Addiere die ganzen Zahlen: 2 + 1 = 3
2. Addiere die Brüche: 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4
3. Addiere die Ergebnisse: 3 + 3/4 = 3 3/4

Methode 2:

1. Wandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche um. Um eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umzuwandeln, multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruchs und addiere das Ergebnis zum Zähler. Der Nenner bleibt gleich.
2. Addiere die unechten Brüche (ggf. mit vorheriger Anpassung auf einen gemeinsamen Nenner).
3. Wandle das Ergebnis (einen unechten Bruch) wieder in eine gemischte Zahl um (falls erforderlich).

Beispiel:

2 1/2 + 1 1/4

1. Wandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche um:
   • 2 1/2 = (2 * 2 + 1)/2 = 5/2
   • 1 1/4 = (1 * 4 + 1)/4 = 5/4
2. Addiere die unechten Brüche: 5/2 + 5/4 = 10/4 + 5/4 = 15/4
3. Wandle das Ergebnis in eine gemischte Zahl um: 15/4 = 3 3/4

Subtraktion rationaler Zahlen

Die Subtraktion rationaler Zahlen funktioniert ähnlich wie die Addition, nur dass wir die Zähler subtrahieren anstatt sie zu addieren.

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner

Um zwei Brüche mit gleichem Nenner zu subtrahieren, subtrahieren wir einfach die Zähler und behalten den gemeinsamen Nenner bei:

a/c - b/c = (a - b)/c

Beispiel:

3/5 - 1/5 = (3 - 1)/5 = 2/5

Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Wie bei der Addition müssen wir auch hier die Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Schritte:

1. Bestimme das kgV der Nenner.
2. Erweitere jeden Bruch so, dass er den gemeinsamen Nenner (das kgV) erhält.
3. Subtrahiere die erweiterten Brüche, indem man die Zähler subtrahiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.

Beispiel:

1/2 - 1/3

1. Das kgV von 2 und 3 ist 6.
2. Erweitere die Brüche:
   • 1/2 = (1 * 3)/(2 * 3) = 3/6
   • 1/3 = (1 * 2)/(3 * 2) = 2/6
3. Subtrahiere die erweiterten Brüche:
   • 3/6 - 2/6 = (3 - 2)/6 = 1/6

Daher ist 1/2 - 1/3 = 1/6.

Subtraktion von gemischten Zahlen

Auch hier gibt es ähnliche Methoden wie bei der Addition.

Methode 1:

1. Subtrahiere die ganzen Zahlen.
2. Subtrahiere die Brüche (ggf. mit vorheriger Anpassung auf einen gemeinsamen Nenner). Wenn der Bruch, von dem subtrahiert wird, kleiner ist als der abzuziehende Bruch, muss man sich eine "ganze Zahl" vom ganzen Zahlenteil "leihen" und diese in einen Bruch umwandeln, der dann zu dem kleineren Bruch addiert wird.
3. Addiere die Ergebnisse der beiden Schritte.

Beispiel:

3 1/4 - 1 1/2

1. Subtrahiere die ganzen Zahlen: 3 - 1 = 2
2. Subtrahiere die Brüche: 1/4 - 1/2 = 1/4 - 2/4 = -1/4. Da 1/4 kleiner ist als 2/4, "leihen" wir uns eine ganze Zahl von der 3: Das wird zu 2 + 1 1/4 - 1 1/2. 1 1/4 wird zu 5/4. Also haben wir 2 + 5/4 - 1 2/4. Nun subtrahieren wir die Brüche: 5/4 - 2/4 = 3/4.
3. Subtrahiere die ganzen Zahlen: 2 - 1 = 1
4. Addiere die Ergebnisse: 1 + 3/4 = 1 3/4

Methode 2:

1. Wandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche um.
2. Subtrahiere die unechten Brüche (ggf. mit vorheriger Anpassung auf einen gemeinsamen Nenner).
3. Wandle das Ergebnis (einen unechten Bruch) wieder in eine gemischte Zahl um (falls erforderlich).

Beispiel:

3 1/4 - 1 1/2

1. Wandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche um:
   • 3 1/4 = (3 * 4 + 1)/4 = 13/4
   • 1 1/2 = (1 * 2 + 1)/2 = 3/2
2. Subtrahiere die unechten Brüche: 13/4 - 3/2 = 13/4 - 6/4 = 7/4
3. Wandle das Ergebnis in eine gemischte Zahl um: 7/4 = 1 3/4

Besondere Fälle

Addition und Subtraktion mit negativen rationalen Zahlen

Die Regeln für die Addition und Subtraktion negativer Zahlen gelten auch für rationale Zahlen. Denke daran, dass das Subtrahieren einer negativen Zahl dasselbe ist wie das Addieren ihrer positiven Entsprechung:

a - (-b) = a + b

Ebenso ist das Addieren einer negativen Zahl dasselbe wie das Subtrahieren ihrer positiven Entsprechung:

a + (-b) = a - b

Beispiel:

1/2 + (-1/4) = 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4

1/3 - (-1/6) = 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2

Zusammenfassung

Das Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen erfordert ein Verständnis der Grundlagen von Brüchen und der gemeinsamen Nenner. Mit etwas Übung wird diese Fähigkeit jedoch schnell zur Routine. Denke daran, die Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, bevor du die Zähler addierst oder subtrahierst. Bei gemischten Zahlen kannst du entweder die ganzen Zahlen und Brüche separat behandeln oder die gemischten Zahlen zuerst in unechte Brüche umwandeln. Und schließlich: Vergiss die Regeln für negative Zahlen nicht!