übungen Brüche Erweitern Und Kürzen
Das Erweitern und Kürzen von Brüchen sind grundlegende Fertigkeiten in der Mathematik, die essentiell sind, um Bruchterme zu vereinfachen, Brüche vergleichbar zu machen und korrekt mit ihnen zu rechnen. Für viele mag dies ein wiederkehrendes Thema aus der Schulzeit sein, aber ein solides Verständnis dieser Konzepte ist unerlässlich für fortgeschrittene mathematische Anwendungen und den Alltag.
Was bedeutet Erweitern eines Bruches?
Das Erweitern eines Bruches bedeutet, sowohl den Zähler (die obere Zahl des Bruches) als auch den Nenner (die untere Zahl des Bruches) mit derselben Zahl zu multiplizieren. Diese Zahl darf nicht Null sein. Der Wert des Bruches selbst ändert sich dabei nicht. Man ändert lediglich die Darstellung.
Warum erweitert man Brüche? Der Hauptgrund für das Erweitern ist, Brüche gleichnamig zu machen. Das bedeutet, dass sie denselben Nenner haben. Gleichnamige Brüche können dann leichter addiert oder subtrahiert werden. Ein weiterer Grund kann sein, einen Bruch in eine bestimmte Form zu bringen, beispielsweise um ihn in eine Dezimalzahl umzuwandeln oder ihn mit anderen Brüchen zu vergleichen.
Beispiel:
Nehmen wir den Bruch 1/2. Wenn wir diesen Bruch mit 3 erweitern, multiplizieren wir sowohl den Zähler als auch den Nenner mit 3:
1/2 * 3/3 = (1 * 3)/(2 * 3) = 3/6
Der Bruch 1/2 ist nun in 3/6 umgewandelt worden. Beide Brüche haben aber denselben Wert. Man kann sich das gut mit einem Kuchen vorstellen: Wenn man einen Kuchen in zwei gleich große Stücke teilt (1/2) und dann jedes Stück noch einmal in drei Stücke teilt, hat man insgesamt sechs Stücke (3/6), aber man hat immer noch die Hälfte des Kuchens.
Was bedeutet Kürzen eines Bruches?
Das Kürzen eines Bruches ist das Gegenteil des Erweiterns. Es bedeutet, sowohl den Zähler als auch den Nenner durch dieselbe Zahl zu dividieren. Diese Zahl muss ein gemeinsamer Teiler von Zähler und Nenner sein. Auch hier gilt: der Wert des Bruches ändert sich nicht, nur die Darstellung.
Warum kürzt man Brüche? Das Ziel des Kürzens ist es, den Bruch so weit wie möglich zu vereinfachen. Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind. Das bedeutet, dass sie keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben. Ein gekürzter Bruch ist übersichtlicher und erleichtert oft das Weiterrechnen.
Beispiel:
Nehmen wir den Bruch 4/8. Sowohl 4 als auch 8 sind durch 4 teilbar. Wir dividieren also Zähler und Nenner durch 4:
4/8 : 4/4 = (4 / 4)/(8 / 4) = 1/2
Der Bruch 4/8 ist nun in 1/2 umgewandelt worden. Beide Brüche haben denselben Wert, aber 1/2 ist die gekürzte Form. Wieder das Kuchenbeispiel: Vier Achtel eines Kuchens (4/8) sind genauso viel wie die Hälfte des Kuchens (1/2).
Wie findet man die richtige Zahl zum Erweitern oder Kürzen?
Erweitern:
Beim Erweitern ist die Wahl der Zahl oft durch den Kontext der Aufgabe vorgegeben. Möchte man Brüche gleichnamig machen, muss man den kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Nenner finden. Das kgV ist die kleinste Zahl, die von allen Nennern teilbar ist. Man erweitert dann jeden Bruch so, dass sein Nenner dem kgV entspricht.
Beispiel:
Wir wollen die Brüche 1/3 und 1/4 gleichnamig machen.
Die Vielfachen von 3 sind: 3, 6, 9, 12, 15,...
Die Vielfachen von 4 sind: 4, 8, 12, 16, 20,...
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 4 ist 12.
Um 1/3 auf den Nenner 12 zu bringen, müssen wir mit 4 erweitern: 1/3 * 4/4 = 4/12
Um 1/4 auf den Nenner 12 zu bringen, müssen wir mit 3 erweitern: 1/4 * 3/3 = 3/12
Nun haben wir die gleichnamigen Brüche 4/12 und 3/12.
Kürzen:
Beim Kürzen sucht man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner. Der ggT ist die größte Zahl, durch die sowohl Zähler als auch Nenner teilbar sind. Man kann den ggT durch Primfaktorzerlegung oder mithilfe des euklidischen Algorithmus finden.
Beispiel:
Wir wollen den Bruch 12/18 so weit wie möglich kürzen.
Die Teiler von 12 sind: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Die Teiler von 18 sind: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18 ist 6.
Wir dividieren Zähler und Nenner durch 6: 12/18 : 6/6 = 2/3
Der gekürzte Bruch ist 2/3.
Praktische Tipps und Tricks
- Übung macht den Meister: Je mehr man übt, desto schneller und sicherer wird man im Erweitern und Kürzen von Brüchen.
- Primfaktorzerlegung: Die Primfaktorzerlegung ist eine hilfreiche Methode, um den ggT zu finden. Man zerlegt Zähler und Nenner in ihre Primfaktoren und identifiziert dann die gemeinsamen Primfaktoren.
- Teilbarkeitsregeln: Kenntnisse über Teilbarkeitsregeln (z.B. eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist; eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist) erleichtern das Finden von Teilern.
- Systematisches Vorgehen: Beginnen Sie beim Kürzen mit kleinen Teilern (2, 3, 5, ...), bevor Sie größere Zahlen ausprobieren.
- Kontrolle: Überprüfen Sie nach dem Kürzen oder Erweitern, ob der Wert des Bruches gleich geblieben ist. Das kann man beispielsweise mit einem Taschenrechner überprüfen.
Fehler vermeiden
Beim Erweitern und Kürzen können Fehler passieren. Hier sind einige häufige Fehler und wie man sie vermeiden kann:
- Nur Zähler oder nur Nenner erweitern/kürzen: Wichtig: Immer Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren oder dividieren.
- Durch Null dividieren oder mit Null multiplizieren: Die Division durch Null ist nicht definiert und das Multiplizieren mit Null würde den Wert des Bruches verändern.
- Falscher ggT oder kgV: Ein falscher ggT führt zu einem nicht vollständig gekürzten Bruch. Ein falsches kgV führt zu unnötig großen Zahlen beim Gleichnamigmachen.
- Vorzeichenfehler: Achten Sie besonders auf Vorzeichen, wenn negative Zahlen im Spiel sind.
Anwendungsbeispiele
Das Erweitern und Kürzen von Brüchen ist nicht nur eine theoretische Übung. Es findet Anwendung in vielen Bereichen:
- Rezepten: Wenn man ein Rezept für eine andere Personenzahl umrechnen muss, muss man oft Bruchzahlen erweitern oder kürzen.
- Finanzen: Beim Berechnen von Zinsen oder Rabatten können Brüche eine Rolle spielen.
- Physik und Ingenieurwesen: In vielen physikalischen Formeln und technischen Berechnungen werden Brüche verwendet.
- Programmierung: Bei der Darstellung von Verhältnissen oder Wahrscheinlichkeiten können Brüche nützlich sein.
Das Beherrschen des Erweiterns und Kürzens von Brüchen ist eine wertvolle Investition in Ihre mathematischen Fähigkeiten. Mit Übung und Geduld werden Sie diese Konzepte sicher anwenden können.
