Unbiased And Biased Estimators

Okay, lasst uns ehrlich sein. Statistik kann ganz schön trocken sein. Aber keine Sorge, wir machen das hier locker. Wir reden über Schätzer. Ja, genau, diese Dinger, die uns helfen, etwas über eine grosse Gruppe herauszufinden, ohne jeden Einzelnen fragen zu müssen.

Was zur Hölle ist ein Schätzer?

Stellt euch vor, ihr wollt wissen, wie gross der durchschnittliche Deutsche ist. Ihr könnt nicht jeden einzelnen messen! Also nehmt ihr eine Stichprobe, messt diese und berechnet den Durchschnitt. Dieser Durchschnitt ist euer Schätzer für die durchschnittliche Grösse aller Deutschen. Simpel, oder?

Die zwei Haupttypen: Ehrlich und... weniger ehrlich

Jetzt kommt der Clou: Es gibt zwei Arten von Schätzern. Die unverzerrten und die verzerrten. Ein unverzerrter Schätzer ist wie euer bester Freund. Er lügt euch nicht an. Im Durchschnitt gibt er euch den richtigen Wert. Manchmal liegt er daneben, aber langfristig gesehen, stimmt's.

Ein verzerrter Schätzer hingegen... nun, er hat seine eigene Agenda. Er neigt dazu, systematisch zu hoch oder zu niedrig zu schätzen. Denkt an eine Waage, die immer 2 Kilo mehr anzeigt. Das ist verzerrt!

Das grosse Missverständnis: Unverzerrt ist immer besser?

Hier kommt meine unpopuläre Meinung: Unverzerrt ist nicht immer das Nonplusultra! Ja, ich habe es gesagt! Lasst mich das erklären.

Stellt euch vor, ihr spielt Dart. Ein unverzerrter Schätzer ist wie ein Spieler, der seine Pfeile im Durchschnitt genau in der Mitte der Dartscheibe platziert. Manche Pfeile sind zu weit links, manche zu weit rechts, aber im Schnitt trifft er die Mitte.

Ein verzerrter Schätzer ist wie ein Spieler, der immer knapp neben der Mitte landet. Aber dafür sind seine Pfeile immer nah beieinander! Welcher Spieler ist besser?

Hier kommt die Varianz ins Spiel. Die Varianz misst, wie weit eure Schätzungen auseinanderliegen. Ein unverzerrter Schätzer kann eine riesige Varianz haben. Das bedeutet, dass eure Schätzungen stark schwanken können.

Ein verzerrter Schätzer hingegen kann eine kleine Varianz haben. Das bedeutet, dass eure Schätzungen immer in der Nähe des (falschen) Wertes liegen. In manchen Fällen ist es besser, ein bisschen daneben zu liegen, aber dafür konsistent zu sein!

Ein Beispiel aus dem echten Leben (oder so ähnlich)

Nehmen wir an, ihr wollt die Temperatur in eurem Kühlschrank messen. Ihr habt zwei Thermometer. Das eine ist unverzerrt, zeigt aber manchmal 2 Grad zu viel und manchmal 2 Grad zu wenig an. Das andere ist verzerrt und zeigt immer 1 Grad zu wenig an. Welches Thermometer benutzt ihr?

Wenn es euch nur um die absolute Temperatur geht, ist das verzerrte Thermometer vielleicht besser. Es ist konsistenter! Wenn ihr aber die Temperatur genau wissen wollt, ist das unverzerrte Thermometer die bessere Wahl, auch wenn es manchmal etwas ungenau ist.

Die Moral von der Geschicht'

Vergesst nicht: Statistik ist nicht immer schwarz und weiss. Es kommt immer auf den Kontext an. Ein unverzerrter Schätzer ist gut, aber nicht immer die beste Wahl. Manchmal ist ein bisschen Verzerrung akzeptabel, wenn dafür die Varianz geringer ist.

Also, das nächste Mal, wenn ihr über Schätzer redet, denkt daran: Seid offen für verschiedene Perspektiven. Und vielleicht, nur vielleicht, ist meine unpopuläre Meinung gar nicht so unpopulär.

Und jetzt entschuldigt mich, ich muss meinen Kühlschrank überprüfen.