Uv Rule For Integration

Stell dir vor, du bist ein Meisterkoch! Nicht für Sterneküche, sondern für superleckere Mathe-Gerichte. Und heute steht auf der Speisekarte: Partielle Integration, auch bekannt als die Uv-Regel! Klingt kompliziert? Quatsch! Ist einfacher als Pfannkuchen backen, versprochen!

Das Rezept – Die Uv-Regel

Okay, okay, zugegeben, ein bisschen Formelkram muss sein. Aber keine Angst, wir machen das spielerisch. Die Uv-Regel sieht so aus:

∫ u v' dx = u v - ∫ u' v dx

Uff, Buchstaben-Salat! Aber lass uns das mal aufdröseln. Stell dir vor, du hast eine Aufgabe, in der zwei Funktionen miteinander multipliziert werden und du sollst das Integral davon finden. Das ist wie beim Kochen, wenn du zwei Zutaten hast, die irgendwie zusammengehören, aber du nicht genau weißt, wie du sie am besten kombinierst.

Hier kommt die Uv-Regel ins Spiel. Sie sagt: "Hey, splitten wir das mal auf! Such dir eine Funktion aus, die du leichter ableiten kannst (das ist dein u), und eine Funktion, die du leichter integrieren kannst (das ist dein v')."

Ein Beispiel zum Reinbeißen: x * sin(x)

Nehmen wir mal an, du sollst das Integral von x * sin(x) berechnen. Uff, klingt erstmal nicht so prickelnd, oder? Aber keine Sorge, wir haben ja unser geheimes Rezept!

Was wäre hier unser u und unser v'? Hmmm... x ableiten ist easy peasy: die Ableitung ist 1. sin(x) integrieren ist auch kein Hexenwerk: das Integral ist -cos(x). Also machen wir's so:

u = x
v' = sin(x)

Daraus folgt:

u' = 1
v = -cos(x)

Jetzt setzen wir das alles in unsere Uv-Regel ein:

∫ x sin(x) dx = x * (-cos(x)) - ∫ 1 * (-cos(x)) dx

Siehst du, was passiert ist? Der erste Teil, x * (-cos(x)), ist schon fertig. Und das Integral im zweiten Teil, ∫ -cos(x) dx, ist viel einfacher zu lösen als das ursprüngliche Integral! Das ist ja wie von Zauberhand!

Das Integral von -cos(x) ist -sin(x). Also haben wir:

∫ x sin(x) dx = -x * cos(x) + sin(x) + C

Tada! Fertig ist unser Mathe-Meisterwerk! Das + C nicht vergessen, das ist die "Geheimzutat", die jede Stammfunktion braucht!

Noch ein Beispiel, weil's so schön ist: ln(x)

Moment mal, ln(x) alleine? Wie soll das denn gehen? Da ist ja gar keine Multiplikation! Tja, hier kommt der Trick: wir schummeln ein bisschen und schreiben ln(x) als 1 * ln(x). Voilà! Jetzt haben wir eine Multiplikation!

Also, was ist u und was ist v'?

u = ln(x) (denn das abzuleiten ist einfacher als zu integrieren!)
v' = 1

Daraus folgt:

u' = 1/x
v = x

Rein in die Uv-Regel damit:

∫ ln(x) dx = ln(x) * x - ∫ (1/x) * x dx

Und was passiert im zweiten Integral? (1/x) * x kürzt sich zu 1! Also haben wir:

∫ ln(x) dx = x * ln(x) - ∫ 1 dx

Und das Integral von 1 ist ja wohl ein Klacks: es ist x. Also:

∫ ln(x) dx = x * ln(x) - x + C

Super! Wir haben das Integral von ln(x) gefunden! Applaus für uns!

Also, siehst du? Die Uv-Regel ist gar nicht so gruselig, wie sie am Anfang aussieht. Mit ein bisschen Übung und der richtigen Strategie (welche Funktion ableiten, welche integrieren?) wirst du zum Uv-Regel-Experten! Und wer weiß, vielleicht entdeckst du ja sogar noch neue, abgefahrene Mathe-Rezepte!

Jetzt aber genug der Theorie, ran an die Aufgaben! Und denk dran: Mathe soll Spaß machen! (Okay, meistens zumindest...)