Von Der Scheitelpunktform Zur Normalform

Viele quadratische Funktionen werden in der Scheitelpunktform dargestellt, was besonders nützlich ist, um direkt den Scheitelpunkt der Parabel abzulesen. Allerdings ist die Normalform oft für weitere Berechnungen, wie das Finden der Nullstellen oder das Vergleichen mit anderen Funktionen, praktischer. Dieser Artikel erklärt, wie Sie eine quadratische Funktion von der Scheitelpunktform in die Normalform umwandeln können.

Was sind Scheitelpunktform und Normalform?

Bevor wir mit der Umwandlung beginnen, definieren wir kurz beide Formen:

Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet:

f(x) = a(x - d)² + e

Hierbei gilt:

• a: Streckfaktor (bestimmt, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist und wie "steil" sie ist)
• (d, e): Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel

Der Scheitelpunkt (d, e) ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel. Wenn a > 0, ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt (Minimum); wenn a < 0, ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt (Maximum).

Normalform

Die Normalform (auch allgemeine Form genannt) einer quadratischen Funktion lautet:

f(x) = ax² + bx + c

Hierbei gilt:

• a: Streckfaktor (wie in der Scheitelpunktform)
• b: Koeffizient des linearen Terms
• c: Y-Achsenabschnitt (der Punkt, an dem die Parabel die y-Achse schneidet)

Die Normalform ist nützlich, um die Nullstellen der Funktion mithilfe der quadratischen Formel (Mitternachtsformel) zu bestimmen. Außerdem ist der y-Achsenabschnitt direkt ablesbar.

Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Umwandlung

Der Prozess, um von der Scheitelpunktform in die Normalform zu gelangen, basiert auf dem Ausmultiplizieren der Klammer und dem anschließenden Vereinfachen des Ausdrucks. Hier sind die einzelnen Schritte:

1. Schritt 1: Klammer auflösen (Binomische Formel anwenden)

Beginnen Sie mit der Scheitelpunktform:

f(x) = a(x - d)² + e

Wenden Sie die erste binomische Formel an: (a - b)² = a² - 2ab + b²

Ersetzen Sie (x - d)² durch x² - 2dx + d²:

f(x) = a(x² - 2dx + d²) + e

2. Schritt 2: Ausmultiplizieren

Multiplizieren Sie den Faktor 'a' in die Klammer:

f(x) = ax² - 2adx + ad² + e

3. Schritt 3: Zusammenfassen und Ordnen

Ordnen Sie die Terme, um die Normalform zu erhalten:

f(x) = ax² + (-2ad)x + (ad² + e)

4. Schritt 4: Identifizieren der Koeffizienten

Vergleichen Sie die umgewandelte Funktion mit der Normalform f(x) = ax² + bx + c. Identifizieren Sie die Koeffizienten:

• a = a (bleibt gleich)
• b = -2ad
• c = ad² + e

Beispiele

Lassen Sie uns diesen Prozess anhand einiger Beispiele verdeutlichen:

Beispiel 1

Gegeben sei die Scheitelpunktform:

f(x) = 2(x - 3)² + 1

1. Schritt 1: Klammer auflösen
   (x - 3)² = x² - 6x + 9
   f(x) = 2(x² - 6x + 9) + 1
2. Schritt 2: Ausmultiplizieren
   f(x) = 2x² - 12x + 18 + 1
3. Schritt 3: Zusammenfassen und Ordnen
   f(x) = 2x² - 12x + 19
4. Schritt 4: Identifizieren der Koeffizienten
   a = 2, b = -12, c = 19

Die Normalform lautet also:

f(x) = 2x² - 12x + 19

Beispiel 2

Gegeben sei die Scheitelpunktform:

f(x) = -1(x + 2)² - 4

Beachten Sie hier, dass (x + 2) dasselbe ist wie (x - (-2)), also ist d = -2.

1. Schritt 1: Klammer auflösen
   (x + 2)² = x² + 4x + 4
   f(x) = -1(x² + 4x + 4) - 4
2. Schritt 2: Ausmultiplizieren
   f(x) = -x² - 4x - 4 - 4
3. Schritt 3: Zusammenfassen und Ordnen
   f(x) = -x² - 4x - 8
4. Schritt 4: Identifizieren der Koeffizienten
   a = -1, b = -4, c = -8

Die Normalform lautet also:

f(x) = -x² - 4x - 8

Beispiel 3 (mit Bruch)

Gegeben sei die Scheitelpunktform:

f(x) = (1/2)(x - 1)² + 3

1. Schritt 1: Klammer auflösen
   (x - 1)² = x² - 2x + 1
   f(x) = (1/2)(x² - 2x + 1) + 3
2. Schritt 2: Ausmultiplizieren
   f(x) = (1/2)x² - x + (1/2) + 3
3. Schritt 3: Zusammenfassen und Ordnen
   f(x) = (1/2)x² - x + (7/2)
4. Schritt 4: Identifizieren der Koeffizienten
   a = 1/2, b = -1, c = 7/2

Die Normalform lautet also:

f(x) = (1/2)x² - x + (7/2)

Warum ist das wichtig?

Die Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform ist aus verschiedenen Gründen wichtig:

• Nullstellenbestimmung: Die Normalform ist ideal, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion mithilfe der quadratischen Formel zu finden.
• Vergleich von Funktionen: Es ist einfacher, verschiedene quadratische Funktionen zu vergleichen, wenn sie alle in der Normalform vorliegen.
• Weiterführende Berechnungen: Viele weitere Berechnungen in der Analysis und linearen Algebra basieren auf der Normalform.
• Anwendungen: In vielen praktischen Anwendungen, wie z.B. in der Physik oder im Ingenieurwesen, werden quadratische Funktionen verwendet. Das Verständnis beider Formen und die Fähigkeit zur Umwandlung sind daher unerlässlich.

Zusammenfassung

Die Umwandlung von der Scheitelpunktform zur Normalform ist ein grundlegender Schritt im Umgang mit quadratischen Funktionen. Durch das Ausmultiplizieren der Klammer und das anschließende Vereinfachen des Ausdrucks können Sie die Funktion in die Normalform überführen. Diese Fähigkeit ermöglicht es Ihnen, Nullstellen zu bestimmen, Funktionen zu vergleichen und weiterführende Berechnungen durchzuführen. Übung macht den Meister – je mehr Beispiele Sie durcharbeiten, desto vertrauter werden Sie mit diesem Prozess.

Denken Sie daran, die binomischen Formeln korrekt anzuwenden und sorgfältig auszumultiplizieren. Mit etwas Übung wird die Umwandlung von der Scheitelpunktform zur Normalform schnell und einfach von der Hand gehen.