Wozu Braucht Man Die Pq Formel

Die p-q-Formel ist ein mathematisches Werkzeug, das dir hilft, quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0 zu lösen. Sie ist besonders nützlich, wenn die Gleichung nicht einfach durch Faktorisieren oder andere Methoden gelöst werden kann. Für viele ist sie eine Art “Allzweckwaffe” für quadratische Gleichungen.

Wann Brauche Ich Die p-q-Formel?

Du brauchst die p-q-Formel, wenn du eine quadratische Gleichung in der Normalform hast: x² + px + q = 0. Das bedeutet, dass:

Der Koeffizient vor dem x² (also der Faktor, mit dem x² multipliziert wird) 1 sein muss.
Die Gleichung muss nach 0 aufgelöst sein. Das heißt, auf der einen Seite des Gleichheitszeichens steht die quadratische Gleichung und auf der anderen Seite die Zahl 0.

Wenn deine quadratische Gleichung nicht in dieser Form vorliegt, musst du sie zuerst umformen, bevor du die p-q-Formel anwenden kannst. Wir werden später genauer darauf eingehen, wie man eine Gleichung in die Normalform bringt.

Beispiele, Wann Die p-q-Formel Angewendet Werden Kann:

x² + 5x + 6 = 0
x² - 3x - 10 = 0
x² + 2x = 0 (hier ist q = 0)

Beispiele, Wann Die p-q-Formel Nicht Direkt Angewendet Werden Kann:

2x² + 5x + 3 = 0 (Koeffizient vor x² ist nicht 1 – muss zuerst durch 2 dividiert werden)
x² + 4x = 7 (nicht nach 0 aufgelöst – 7 muss auf die linke Seite gebracht werden)
x³ + x² + x = 0 (keine quadratische Gleichung – enthält x³)

Die p-q-Formel Selbst

Die p-q-Formel lautet:

x_1,2 = -p/2 ± √( (p/2)² - q )

Dabei ist:

x_1,2 die beiden möglichen Lösungen für x (es können auch weniger sein, dazu später mehr).
p der Koeffizient vor dem x in der Normalform (x² + px + q = 0).
q das absolute Glied in der Normalform (x² + px + q = 0).
± bedeutet, dass es zwei Berechnungen gibt: eine mit Addition und eine mit Subtraktion.
√ ist das Wurzelzeichen.

Wie Man Die p-q-Formel Anwendet – Schritt Für Schritt

Bringe die Gleichung in die Normalform: x² + px + q = 0. Wenn der Koeffizient vor x² nicht 1 ist, teile die gesamte Gleichung durch diesen Koeffizienten. Wenn die Gleichung nicht nach 0 aufgelöst ist, addiere oder subtrahiere Terme, um 0 auf der rechten Seite zu erhalten.
Identifiziere p und q. Lies die Werte von p und q direkt aus der Normalform ab. Achte dabei auf die Vorzeichen (+ oder -).
Setze p und q in die p-q-Formel ein. Ersetze die Variablen p und q in der Formel durch die entsprechenden Zahlenwerte.
Berechne den Ausdruck unter der Wurzel. Berechne zuerst (p/2)², dann subtrahiere q davon.
Ziehe die Wurzel. Berechne die Quadratwurzel des Ergebnisses aus Schritt 4.
Berechne die beiden Lösungen x₁ und x₂. Berechne x₁ indem du -p/2 zu dem Ergebnis aus Schritt 5 addierst. Berechne x₂ indem du -p/2 von dem Ergebnis aus Schritt 5 subtrahierst.

Beispiel: x² + 5x + 6 = 0

Die Gleichung ist bereits in Normalform.
p = 5, q = 6
x_1,2 = -5/2 ± √( (5/2)² - 6 )
(5/2)² - 6 = 25/4 - 24/4 = 1/4
√(1/4) = 1/2
x₁ = -5/2 + 1/2 = -4/2 = -2 x₂ = -5/2 - 1/2 = -6/2 = -3

Die Lösungen sind also x₁ = -2 und x₂ = -3.

Was Passiert, Wenn Der Ausdruck Unter Der Wurzel Negativ Ist?

Wenn der Ausdruck unter der Wurzel ( (p/2)² - q ) negativ ist, gibt es keine reellen Lösungen für die quadratische Gleichung. Das bedeutet, dass die Parabel, die durch die Gleichung beschrieben wird, die x-Achse nicht schneidet. In der Mathematik gibt es zwar auch komplexe Zahlen, aber im Regelfall wird im Schulkontext bei einer negativen Zahl unter der Wurzel gesagt, dass es keine Lösung gibt.

Was Passiert, Wenn Der Ausdruck Unter Der Wurzel Null Ist?

Wenn der Ausdruck unter der Wurzel ( (p/2)² - q ) gleich Null ist, gibt es genau eine Lösung für die quadratische Gleichung. In diesem Fall ist x₁ = x₂ = -p/2. Die Parabel berührt die x-Achse dann genau in einem Punkt.

Gleichung In Normalform Bringen – So Geht’s

Wie bereits erwähnt, ist die p-q-Formel nur anwendbar, wenn die quadratische Gleichung in der Normalform x² + px + q = 0 vorliegt. Hier sind die häufigsten Umformungen, die du eventuell durchführen musst:

1. Koeffizient Vor x² Ist Nicht 1

Wenn der Koeffizient vor x² eine andere Zahl als 1 ist, teile die gesamte Gleichung durch diesen Koeffizienten. Zum Beispiel:

2x² + 8x + 6 = 0

Teile die gesamte Gleichung durch 2:

x² + 4x + 3 = 0

Jetzt kannst du die p-q-Formel anwenden.

2. Gleichung Ist Nicht Nach 0 Aufgelöst

Wenn die Gleichung nicht nach 0 aufgelöst ist, musst du Terme addieren oder subtrahieren, um 0 auf der rechten Seite zu erhalten. Zum Beispiel:

x² + 3x = 4

Subtrahiere 4 von beiden Seiten:

x² + 3x - 4 = 0

Jetzt kannst du die p-q-Formel anwenden.

3. Zusammenfassen von Termen

Manchmal musst du zuerst Terme zusammenfassen, bevor du die Normalform erreichst. Zum Beispiel:

3x² + 6x - x² + 2 = 0

Fasse die x²-Terme zusammen:

2x² + 6x + 2 = 0

Teile dann durch 2, um den Koeffizienten vor x² auf 1 zu bringen:

x² + 3x + 1 = 0

Jetzt kannst du die p-q-Formel anwenden.

Alternativen Zur p-q-Formel

Obwohl die p-q-Formel sehr nützlich ist, gibt es auch andere Methoden, um quadratische Gleichungen zu lösen:

Faktorisieren: Manchmal kann man die quadratische Gleichung in zwei lineare Faktoren zerlegen. Zum Beispiel: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). Die Lösungen sind dann x = -2 und x = -3. Dies ist aber nicht immer einfach oder offensichtlich.
Quadratische Ergänzung: Diese Methode ist etwas aufwendiger, kann aber verwendet werden, um die p-q-Formel herzuleiten und um quadratische Terme in anderen Kontexten umzuformen.
abc-Formel (Mitternachtsformel): Diese Formel ist allgemeiner und kann auch für quadratische Gleichungen verwendet werden, bei denen der Koeffizient vor x² nicht 1 ist (ax² + bx + c = 0). Die Formel lautet: x_1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). Sie ist im Prinzip äquivalent zur p-q-Formel, aber manche empfinden sie als einfacher, da man die Gleichung nicht erst in Normalform bringen muss.

Zusammenfassung

Die p-q-Formel ist ein wertvolles Werkzeug, um quadratische Gleichungen zu lösen. Sie ist besonders dann nützlich, wenn die Gleichung nicht einfach durch Faktorisieren gelöst werden kann. Stelle sicher, dass du die Gleichung zuerst in die Normalform bringst (x² + px + q = 0), bevor du die Formel anwendest. Achte auf die Vorzeichen von p und q und berechne den Ausdruck unter der Wurzel sorgfältig. Wenn der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist, gibt es keine reellen Lösungen. Und denk daran, es gibt auch alternative Methoden zur p-q-Formel!