Zentrische Streckung Aufgaben Mit Lösungen Pdf

Hallo liebe Mathe-Entdecker! Ihr seid auf der Suche nach einer verständlichen Erklärung und Übungsaufgaben zur zentrischen Streckung? Dann seid ihr hier genau richtig! Dieses Thema ist nicht nur in der Schule wichtig, sondern begegnet uns auch im Alltag ständig, beispielsweise bei der Fotografie, beim Verkleinern oder Vergrößern von Bildern oder beim Betrachten von Landkarten. Lasst uns gemeinsam eintauchen und das Thema mit Beispielen und Übungen verinnerlichen.

Was ist die Zentrische Streckung?

Die zentrische Streckung ist eine geometrische Abbildung, bei der eine Figur von einem festen Punkt, dem Streckzentrum (Z), aus vergrößert oder verkleinert wird. Man kann sich das wie einen Lichtstrahl vorstellen, der von Z durch die Figur scheint und einen vergrößerten oder verkleinerten Schatten auf einer anderen Ebene wirft. Der Grad der Vergrößerung oder Verkleinerung wird durch den Streckfaktor (k) bestimmt.

Wichtige Begriffe:

• Streckzentrum (Z): Der feste Punkt, von dem aus die Streckung erfolgt.
• Streckfaktor (k): Eine Zahl, die angibt, um welchen Faktor die Figur vergrößert oder verkleinert wird.
  • Wenn k > 1, wird die Figur vergrößert.
  • Wenn 0 < k < 1, wird die Figur verkleinert.
  • Wenn k = 1, bleibt die Figur unverändert.
  • Wenn k < 0, wird die Figur zusätzlich zum Strecken noch an Z gespiegelt.
• Bildpunkt: Der Punkt, der nach der Streckung entsteht (z.B. A' ist der Bildpunkt von A).

Wie funktioniert die Zentrische Streckung praktisch?

Stellen wir uns vor, wir haben einen Punkt A und ein Streckzentrum Z. Um den Bildpunkt A' zu finden, gehen wir wie folgt vor:

1. Zeichne eine Gerade durch Z und A.
2. Messe die Entfernung zwischen Z und A.
3. Multipliziere diese Entfernung mit dem Streckfaktor k.
4. Trage die neue Entfernung von Z aus auf der Geraden ab, um A' zu erhalten. Die Richtung hängt vom Vorzeichen von k ab. Bei positivem k liegt A' auf der gleichen Seite von Z wie A, bei negativem k auf der gegenüberliegenden Seite.

Genauso verfahren wir mit allen Eckpunkten der Figur, die wir strecken möchten. Verbinden wir dann die Bildpunkte, erhalten wir die gestreckte Figur.

Aufgaben mit Lösungen

Nun wollen wir das Gelernte anhand von Aufgaben üben. Keine Sorge, die Lösungen sind auch dabei!

Aufgabe 1: Einfache Streckung eines Punktes

Gegeben ist der Punkt A(2|3) und das Streckzentrum Z(0|0) (Ursprung des Koordinatensystems). Bestimme den Bildpunkt A' bei einer zentrischen Streckung mit dem Streckfaktor k = 2.

Lösung:

Da das Streckzentrum im Ursprung liegt, ist die Rechnung besonders einfach. Wir multiplizieren einfach die Koordinaten von A mit dem Streckfaktor k:

A'(2*2 | 2*3) = A'(4|6)

Der Bildpunkt ist also A'(4|6).

Aufgabe 2: Streckung eines Dreiecks

Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A(1|1), B(3|1) und C(2|4). Das Streckzentrum ist Z(0|0) und der Streckfaktor k = 0.5. Bestimme die Koordinaten der Bildpunkte A', B' und C' und zeichne das Dreieck ABC und das Bilddreieck A'B'C'.

Lösung:

Wir multiplizieren die Koordinaten jedes Eckpunkts mit dem Streckfaktor k = 0.5:

• A'(0.5*1 | 0.5*1) = A'(0.5|0.5)
• B'(0.5*3 | 0.5*1) = B'(1.5|0.5)
• C'(0.5*2 | 0.5*4) = C'(1|2)

Zeichne die beiden Dreiecke in ein Koordinatensystem. Du wirst sehen, dass das Dreieck A'B'C' eine verkleinerte Version von Dreieck ABC ist.

Aufgabe 3: Streckung mit negativem Streckfaktor

Gegeben ist der Punkt P(2|1) und das Streckzentrum Z(1|1). Der Streckfaktor ist k = -1. Bestimme den Bildpunkt P'.

Lösung:

Hier müssen wir etwas genauer vorgehen, da das Streckzentrum nicht im Ursprung liegt. Zuerst bestimmen wir den Vektor vom Streckzentrum Z zum Punkt P:

Vektor ZP = P - Z = (2-1 | 1-1) = (1|0)

Diesen Vektor multiplizieren wir mit dem Streckfaktor k = -1:

k * Vektor ZP = -1 * (1|0) = (-1|0)

Nun addieren wir diesen Vektor zum Streckzentrum Z, um den Bildpunkt P' zu erhalten:

P' = Z + k * Vektor ZP = (1|1) + (-1|0) = (0|1)

Der Bildpunkt ist also P'(0|1). Beachte, dass P' auf der gegenüberliegenden Seite von Z liegt als P.

Aufgabe 4: Bestimmung des Streckfaktors

Gegeben sind die Punkte A(1|2) und A'(3|6). Das Streckzentrum ist Z(0|0). Bestimme den Streckfaktor k.

Lösung:

Da das Streckzentrum im Ursprung liegt, können wir einfach die Koordinaten vergleichen. Der Streckfaktor ist das Verhältnis der Koordinaten des Bildpunkts A' zu den Koordinaten des Originalpunkts A. Wir können entweder die x-Koordinaten oder die y-Koordinaten vergleichen:

k = A'_x / A_x = 3 / 1 = 3

Oder:

k = A'_y / A_y = 6 / 2 = 3

Der Streckfaktor ist also k = 3.

Aufgabe 5: Schwierigere Aufgabe mit ungleichen Strecken

Gegeben ist ein Viereck ABCD und dessen Bildviereck A'B'C'D' nach einer zentrischen Streckung. Die Koordinaten sind: A(2|2), B(4|2), C(4|4), D(2|4) und A'(1|1), B'(2|1), C'(2|2), D'(1|2). Bestimme das Streckzentrum Z und den Streckfaktor k.

Lösung:

Diese Aufgabe ist etwas kniffliger, da wir sowohl das Streckzentrum als auch den Streckfaktor bestimmen müssen.

1. Bestimmung des Streckfaktors k: Wir vergleichen die Längen der Seiten. Zum Beispiel AB = 2 (von (2|2) zu (4|2)) und A'B' = 1 (von (1|1) zu (2|1)). Also ist k = A'B'/AB = 1/2 = 0.5.
2. Bestimmung des Streckzentrums Z: Wir wissen, dass die Geraden AA', BB', CC' und DD' sich alle im Streckzentrum Z schneiden. Wir bestimmen die Geradengleichungen von zwei dieser Geraden (z.B. AA' und BB') und berechnen ihren Schnittpunkt.

   Gerade AA': Steigung m = (1-2)/(1-2) = 1. Gleichung: y = x + b. Punkt A(2|2) einsetzen: 2 = 2 + b, also b = 0. Gleichung: y = x.

   Gerade BB': Steigung m = (1-2)/(2-4) = 1/2. Gleichung: y = (1/2)x + b. Punkt B(4|2) einsetzen: 2 = (1/2)*4 + b, also b = 0. Gleichung: y = (1/2)x.

   Schnittpunkt: x = (1/2)x. Also x = 0 und y = 0.

Somit ist das Streckzentrum Z(0|0) und der Streckfaktor k = 0.5.

Tipps und Tricks

• Zeichne sauber: Eine genaue Zeichnung hilft dir, Fehler zu vermeiden und die Zusammenhänge besser zu verstehen.
• Nutze das Koordinatensystem: Das Koordinatensystem erleichtert die Berechnung der Koordinaten der Bildpunkte.
• Achte auf das Vorzeichen von k: Ein negatives k bedeutet eine zusätzliche Spiegelung am Streckzentrum.
• Übung macht den Meister: Je mehr Aufgaben du rechnest, desto sicherer wirst du im Umgang mit der zentrischen Streckung.

Wo begegnet uns die zentrische Streckung im Alltag?

Die zentrische Streckung findet Anwendung in vielen Bereichen:

• Fotografie: Beim Zoomen wird das Bild zentrisch gestreckt.
• Landkarten: Landkarten sind verkleinerte Darstellungen der Realität.
• Architektur: Architekten verwenden die zentrische Streckung, um Pläne zu vergrößern oder zu verkleinern.
• Computergrafik: Beim Skalieren von Objekten wird die zentrische Streckung angewendet.

Ich hoffe, diese Einführung und die Übungsaufgaben haben dir geholfen, die zentrische Streckung besser zu verstehen. Viel Spaß beim weiteren Entdecken der Mathematik!

Viel Erfolg!