Lineare Gleichungssysteme Mit 3 Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten ist eine Sammlung von linearen Gleichungen, die jeweils drei Variablen enthalten. Diese Variablen werden üblicherweise mit x, y und z bezeichnet. Ziel ist es, Werte für diese Variablen zu finden, die alle Gleichungen des Systems gleichzeitig erfüllen.

Form und Struktur

Die allgemeine Form eines linearen Gleichungssystems mit drei Unbekannten sieht wie folgt aus:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Hierbei sind:

• x, y, z: Die Unbekannten, deren Werte wir suchen.
• a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂, a₃, b₃, c₃: Die Koeffizienten der Unbekannten. Dies sind bekannte Zahlen.
• d₁, d₂, d₃: Die konstanten Glieder (auch absolute Glieder genannt). Dies sind ebenfalls bekannte Zahlen.

Ein lineares Gleichungssystem muss mindestens drei Gleichungen haben, um eine eindeutige Lösung zu ermöglichen, da wir drei Unbekannte bestimmen müssen. Systeme mit weniger als drei Gleichungen können unendlich viele Lösungen oder keine Lösung haben.

Lösungsverfahren

Es gibt verschiedene Methoden, um lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten zu lösen. Die gängigsten sind:

1. Das Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer der Unbekannten (z.B. x) aufgelöst. Dieser Ausdruck für x wird dann in die anderen beiden Gleichungen eingesetzt. Dadurch erhält man ein neues Gleichungssystem mit nur noch zwei Unbekannten (y und z). Dieses System kann dann mit dem gleichen Verfahren oder einem anderen Verfahren gelöst werden.

Beispiel:

Gleichung 1: x + 2y - z = 1
Gleichung 2: 2x - y + z = 3
Gleichung 3: x + y + z = 2

Löse Gleichung 1 nach x auf: x = 1 - 2y + z

Setze diesen Ausdruck für x in Gleichung 2 und Gleichung 3 ein:

2(1 - 2y + z) - y + z = 3 => -5y + 3z = 1
(1 - 2y + z) + y + z = 2 => -y + 2z = 1

Nun hat man ein System mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses kann weiter gelöst werden, um y und z zu finden. Anschliessend kann der Wert für x durch Einsetzen in x = 1 - 2y + z ermittelt werden.

2. Das Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Gleichungen nach der gleichen Unbekannten (z.B. x) aufgelöst. Die resultierenden Ausdrücke werden dann gleichgesetzt. Dadurch erhält man eine neue Gleichung mit nur noch zwei Unbekannten. Diese neue Gleichung wird dann zusammen mit einer der ursprünglichen Gleichungen (die nicht zur Gleichsetzung verwendet wurde) als ein System mit zwei Unbekannten gelöst.

Beispiel:

Gleichung 1: x + 2y - z = 1
Gleichung 2: 2x - y + z = 3
Gleichung 3: x + y + z = 2

Löse Gleichung 1 und Gleichung 3 nach x auf:

x = 1 - 2y + z
x = 2 - y - z

Setze die Ausdrücke gleich: 1 - 2y + z = 2 - y - z => -y + 2z = 1

Diese neue Gleichung wird nun zusammen mit einer der ursprünglichen Gleichungen (z.B. Gleichung 2) als System mit zwei Unbekannten gelöst.

3. Das Additions-/Subtraktionsverfahren (auch Eliminationsverfahren genannt)

Das Additions-/Subtraktionsverfahren zielt darauf ab, durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen der Gleichungen eine oder mehrere Unbekannte zu eliminieren. Dazu werden die Gleichungen so multipliziert, dass die Koeffizienten einer Unbekannten in zwei Gleichungen entgegengesetzte Werte haben. Durch Addition der Gleichungen fällt diese Unbekannte weg.

Beispiel:

Gleichung 1: x + 2y - z = 1
Gleichung 2: 2x - y + z = 3
Gleichung 3: x + y + z = 2

Addiere Gleichung 1 und Gleichung 2: (x + 2y - z) + (2x - y + z) = 1 + 3 => 3x + y = 4

Subtrahiere Gleichung 1 von Gleichung 3: (x + y + z) - (x + 2y - z) = 2 - 1 => -y + 2z = 1

Nun hat man die zwei Gleichungen:

3x + y = 4
-y + 2z = 1

Aus der zweiten Gleichung lässt sich y = 2z - 1 ableiten. Setzt man das in die erste Gleichung ein, erhält man: 3x + 2z - 1 = 4 => 3x + 2z = 5. Diese Gleichung kombiniert man nun mit einer der ursprünglichen Gleichungen (z.B. Gleichung 1) um z und x zu bestimmen.

4. Die Cramersche Regel (Determinantenmethode)

Die Cramersche Regel ist eine Methode, die Determinanten verwendet, um die Lösung eines linearen Gleichungssystems zu finden. Diese Methode ist besonders nützlich, wenn man die Lösung für nur eine bestimmte Unbekannte benötigt.

Berechnung der Determinanten:

Für ein lineares Gleichungssystem der Form:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Berechnet man die Hauptdeterminante D:

D = | a₁ b₁ c₁ |
| a₂ b₂ c₂ |
| a₃ b₃ c₃ |

Die Determinante D wird wie folgt berechnet: D = a₁(b₂c₃ - b₃c₂) - b₁(a₂c₃ - a₃c₂) + c₁(a₂b₃ - a₃b₂)

Um x zu finden, ersetzt man die erste Spalte der Determinante D durch die konstanten Glieder d₁, d₂, d₃ und erhält die Determinante D_x:

D_x = | d₁ b₁ c₁ |
| d₂ b₂ c₂ |
| d₃ b₃ c₃ |

Dann gilt: x = D_x / D

Analog erhält man y = D_y / D und z = D_z / D, wobei D_y und D_z durch Ersetzen der zweiten bzw. dritten Spalte von D durch die konstanten Glieder d₁, d₂, d₃ entstehen.

Wichtig: Die Cramersche Regel funktioniert nur, wenn die Hauptdeterminante D ungleich Null ist. Wenn D = 0 ist, hat das System entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

5. Gauß-Algorithmus (Gaußsche Eliminationsverfahren)

Der Gauß-Algorithmus ist ein systematisches Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Dabei wird das System in eine Zeilenstufenform umgewandelt. Dies geschieht durch elementare Zeilenumformungen, wie z.B. Vertauschen von Zeilen, Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor ungleich Null und Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Das Ziel ist, dass unterhalb der Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten) nur Nullen stehen. Danach kann das System leicht durch Rückwärtseinsetzen gelöst werden.

Beispiel:

Gleichung 1: x + 2y - z = 1
Gleichung 2: 2x - y + z = 3
Gleichung 3: x + y + z = 2

Schreibe das System in Matrixform:

[ 1 2 -1 | 1 ]
[ 2 -1 1 | 3 ]
[ 1 1 1 | 2 ]

Subtrahiere das 2-fache der ersten Zeile von der zweiten Zeile, und subtrahiere die erste Zeile von der dritten Zeile:

[ 1 2 -1 | 1 ]
[ 0 -5 3 | 1 ]
[ 0 -1 2 | 1 ]

Multipliziere die dritte Zeile mit -5 und subtrahiere die zweite Zeile davon:

[ 1 2 -1 | 1 ]
[ 0 -5 3 | 1 ]
[ 0 0 -7 | -4 ]

Nun befindet sich die Matrix in Zeilenstufenform. Aus der letzten Zeile ergibt sich -7z = -4 => z = 4/7. Diesen Wert setzt man in die zweite Zeile ein: -5y + 3*(4/7) = 1 => y = 1/7. Schliesslich setzt man y und z in die erste Zeile ein: x + 2*(1/7) - (4/7) = 1 => x = 9/7.

Arten von Lösungen

Ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten kann:

• Genau eine Lösung haben: Dies bedeutet, es gibt genau ein Tripel (x, y, z), das alle Gleichungen erfüllt. Geometrisch interpretiert, schneiden sich die drei Ebenen, die durch die Gleichungen dargestellt werden, in einem einzigen Punkt.
• Unendlich viele Lösungen haben: Dies bedeutet, es gibt unendlich viele Tripel (x, y, z), die alle Gleichungen erfüllen. Geometrisch interpretiert, können sich die Ebenen in einer Linie schneiden, oder alle drei Ebenen können identisch sein.
• Keine Lösung haben: Dies bedeutet, es gibt kein Tripel (x, y, z), das alle Gleichungen erfüllt. Geometrisch interpretiert, sind die Ebenen parallel oder schneiden sich paarweise, aber nicht in einem gemeinsamen Punkt.

Anwendungen

Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten finden Anwendung in vielen Bereichen, wie z.B.:

• Physik: Berechnung von Kräften, Strömen in Schaltkreisen, etc.
• Chemie: Ausgleichung von chemischen Reaktionsgleichungen.
• Wirtschaft: Modellierung von Angebot und Nachfrage, Optimierung von Produktionsprozessen.
• Computergraphik: Transformationen von Objekten im Raum.

Zusammenfassung

Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten sind ein wichtiges Werkzeug zur Lösung von Problemen in verschiedenen Bereichen. Es gibt verschiedene Methoden, um solche Systeme zu lösen. Die Wahl der Methode hängt oft von der Struktur des Systems und den persönlichen Präferenzen ab. Das Verständnis der verschiedenen Lösungsverfahren und der geometrischen Interpretation der Lösungen ist entscheidend für die erfolgreiche Anwendung von linearen Gleichungssystemen.